ベクトルをもう少し理解しようとしています。
ベクトルを正規化する必要性は何ですか?
ベクトルがある場合、N = (x, y, z)
正規化すると実際に何が得られますか-x / | N |を除算する必要があるという考えがわかりました y/|N| & z/|N|. 私の質問は、なぜこのようなことをするのかということです。つまり、この方程式から何が得られるのでしょうか?
これを行う意味または「内部」の目的は何ですか。
ちょっとした数学の質問で、申し訳ありませんが、このトピックについてははっきりしていません。
任意のベクトル について、ベクトルV = (x, y, z)の|V| = sqrt(x*x + y*y + z*z)長さを示します。
ベクトルを正規化すると、実際に計算されV/|V| = (x/|V|, y/|V|, z/|V|)ます。
正規化されたベクトルの長さが 1 であることは簡単にわかります。これは次の理由によるものです。
| V/|V| | = sqrt((x/|V|)*(x/|V|) + (y/|V|)*(y/|V|) + (z/|V|)*(z/|V|))
= sqrt(x*x + y*y + z*z) / |V|
= |V| / |V|
= 1
したがって、正規化されたベクトルを単位ベクトル (単位長のベクトル) と呼ぶことができます。
正規化されたベクトルは、方向ではなく大きさのみを変更します。また、同じ方向を指すすべてのベクトルは、同じベクトルに正規化されます (大きさと方向はベクトルを一意に定義するため)。したがって、単位ベクトルは方向を示すのに非常に役立ちます。
ただし、上記の説明はすべて 3 次元デカルト座標に関するものであることに注意してください(x, y, z)。しかし、デカルト座標とは実際には何を意味するのでしょうか?
結局のところ、3D 空間でベクトルを定義するには、いくつかの参照方向が必要です。これらの参照方向は、標準的にi、j、k (または i、j、k に小さな大文字を付けたもの - 「i cap」、「j cap」、および「k cap」と呼ばれます) と呼ばれます。と考えるベクトルは、V = (x, y, z)実際には と書くことができますV = xi + yj + zk。(注: 大文字で呼ぶことはもうありません。単に i、j、k と呼びます)。i、j、および k は、X、Y、および Z 方向の単位ベクトルであり、相互に直交する単位ベクトルのセットを形成します。これらは、すべてのデカルト座標ジオメトリの基礎です。
他の形式の座標 (円筒座標や球座標など) があり、それらの座標は のように直接的に理解することはできません(x, y, z)が、これらも 3 つの座標を乗算する基礎を形成する 3 つの相互に直交する単位ベクトルのセットで構成されています。ベクトルを生成します。
したがって、上記の議論は、他のベクトルを定義するために単位ベクトルが必要であることを明確に示していますが、なぜ気にする必要があるのでしょうか?
時々、大きさだけが問題になるからです。それはあなたが「通常の」数を使用するときです（4または1/3または3.141592653のようなもの-いいえ、すべてのOCDフリークのために、私はそこに円周率を置くつもりはありません-私が邪悪な化身であるという理由だけで、それは終了小数のままです）。厄介な方向に投げられたくないでしょう？つまり、西向きのスイカを4キログラム欲しいと言うことは本当に意味がありますか? もちろん、あなたが狂った狂信者でない限り。
それ以外の場合は、方向のみが重要です。マグニチュードを気にしないか、マグニチュードが大きすぎて理解できません (無限のようなものですが、無限が実際に何であるかを本当に知っている人は誰もいません-万歳、偉大な無限です。彼には無限の無限があるからです...申し訳ありません、そこで少し夢中になりました）。そのような場合、ベクトルの正規化を使用します。たとえば、北に 4 km の直線があると言っても意味がありません。北向きの線があると言う方が理にかなっています。それで、あなたは何をしますか？あなたは4キロを取り除きます。あなたは大きさを破壊します。残っているのは北だけです（そして冬が来ています）。これを十分に頻繁に行うと、自分が行っていることに名前と表記を付ける必要があります。ただ「大きさを無視」とは言えません。それはあまりにもひどいです。あなたは数学者です。
ところで、デカルト座標について言及したので、必須の XKCD は次のとおりです。
これは、なぜ数値を掛けるのかを尋ねるのと少し似ています。いつも出てきます。
私たちが使用するデカルト座標系は、基底を回転させたい場合、正規直交基底です（互いに直交する長さ1のベクトルで構成されます。基底とは、これらのベクトルの一意の組み合わせで任意のベクトルを表すことができることを意味します）。これは、ビデオゲームの仕組みで見回すと発生します）行と列が正規直交ベクトルである行列を使用します。
線形代数の行列をいじり始めるとすぐに、正規直交ベクトルが必要になります。例が多すぎて名前を付けることができません。
結局のところ、正規化されたベクトルは必要ありません（ハンバーガーが必要ないのと同じように、ハンバーガーがなくても生きることはできますv / |v|が、誰がそうするのでしょうか）。人々はそれに名前と特別な表記（ベクトル上の^はそれが正規化されたベクトルであることを意味します）をショートカットとして与えることに決めました。
正規化されたベクトル（単位ベクトルとも呼ばれます）は、基本的には現実です。
あなたはその長さを1-にしています-同じ方向を指す単位ベクトルを見つけます。
これはさまざまな目的に役立ちます。たとえば、ベクトルと単位ベクトルの内積をとる場合、そのベクトルの成分の長さは単位ベクトルの方向になります。
法線は、方向ベクトルとしてのみ使用されることになっています。これらは、正規化された法線ベクトルを必要とするライティング計算に使用されます。