株価を高精度に保存するアプリケーションを作ろうとしています。現在、私はそうするためにダブルを使用しています。メモリを節約するために、他のデータ型を使用できますか？これは固定小数点演算と関係があることは知っていますが、理解できません。
78693 次
4 に答える
83
固定小数点演算の背後にある考え方は、特定の量で乗算された値を格納し、すべての微積分に乗算された値を使用し、結果が必要なときにそれを同じ量で除算することです。この手法の目的は、分数を表すことができる一方で、整数演算（int、long ...）を使用することです。
Cでこれを行う通常の最も効率的な方法は、ビットシフト演算子（<<および>>）を使用することです。ビットのシフトはALUにとって非常に単純で高速な操作であり、これを行うと、各シフトで整数値を2で乗算（<<）および除算（>>）する特性があります（さらに、多くのシフトはまったく同じに対して実行できます）単一のものの価格）。もちろん、欠点は乗数が2の累乗でなければならないことです（正確な乗数の値はあまり気にしないので、通常はそれ自体では問題になりません）。
ここで、値を格納するために32ビット整数を使用するとします。2の乗数を選択する必要があります。ケーキを2つに分割して、65536としましょう（これは最も一般的なケースですが、精度のニーズに応じて、実際には2の累乗を使用できます）。これは216であり、ここでの16は、小数部に16の最下位ビット（LSB）を使用することを意味します。残り（32-16 = 16）は、最上位ビット（MSB）の整数部分です。
integer (MSB) fraction (LSB)
v v
0000000000000000.0000000000000000
これをコードに入れましょう：
#define SHIFT_AMOUNT 16 // 2^16 = 65536
#define SHIFT_MASK ((1 << SHIFT_AMOUNT) - 1) // 65535 (all LSB set, all MSB clear)
int price = 500 << SHIFT_AMOUNT;
これは、ストアに配置する必要のある値（構造、データベースなど）です。最近ではほとんどの場合、intはCでは必ずしも32ビットではないことに注意してください。また、それ以上の宣言なしで、デフォルトで署名されます。確かに、宣言にunsignedを追加できます。それよりも、コードが整数ビットサイズに大きく依存している場合は、uint32_tまたはuint_least32_t（stdint.hで宣言）を使用できます（ハックを導入する可能性があります）。疑わしい場合は、固定小数点型にtypedefを使用すると、より安全になります。
この値を計算する場合は、+、-、*、および/の4つの基本演算子を使用できます。値（+および-）を加算および減算するときは、その値もシフトする必要があることに注意する必要があります。500の価格に10を追加したいとします。
price += 10 << SHIFT_AMOUNT;
ただし、乗算と除算（*と/）の場合、乗数/除数をシフトしてはなりません。3を掛けたいとしましょう。
price *= 3;
次に、価格を4で割って、ゼロ以外の小数部分を補うことで、物事をより面白くします。
price /= 4; // now our price is ((500 + 10) * 3) / 4 = 382.5
ルールについては以上です。いつでも実際の価格を取得したい場合は、右シフトする必要があります。
printf("price integer is %d\n", price >> SHIFT_AMOUNT);
小数部分が必要な場合は、マスクする必要があります。
printf ("price fraction is %d\n", price & SHIFT_MASK);
もちろん、この値は小数と呼ぶことができる値ではなく、実際には[0〜65535]の範囲の整数です。ただし、小数部の範囲[0--0.9999...]と正確に一致します。つまり、マッピングは次のようになります：0 => 0、32768 => 0.5、65535 => 0.9999 .. ..
それを小数として見る簡単な方法は、この時点でCの組み込み浮動小数点演算に頼ることです。
printf("price fraction in decimal is %f\n", ((double)(price & SHIFT_MASK) / (1 << SHIFT_AMOUNT)));
ただし、FPUサポート（ハードウェアまたはソフトウェア）がない場合は、次のような新しいスキルを完全な価格で使用できます。
printf("price is roughly %d.%lld\n", price >> SHIFT_AMOUNT, (long long)(price & SHIFT_MASK) * 100000 / (1 << SHIFT_AMOUNT));
式の0の数は、おおよそ小数点以下の桁数です。分数の精度を考慮して、0の数を過大評価しないでください（ここには実際のトラップはありません。これは非常に明白です）。sizeof（long）がsizeof（int）と等しくなる可能性があるため、simplelongを使用しないでください。intが32ビットの場合はlonglongを使用します。longlongは最小64ビットであることが保証されています（またはstdint.hで宣言されているint64_t、int_least64_tなどを使用します）。つまり、固定小数点型の2倍のサイズの型を使用します。これで十分です。最後に、64ビット以上のタイプにアクセスできない場合は、少なくとも出力のために、それらをエミュレートすることを実行するときが来たのかもしれません。
これらは、固定小数点演算の背後にある基本的な考え方です。
負の値に注意してください。特に最終的な値を表示するときは、注意が必要な場合があります。さらに、Cは符号付き整数について実装定義されています（これが問題となるプラットフォームは最近では非常にまれですが）。すべてが期待どおりに行われることを確認するために、環境で常に最小限のテストを行う必要があります。そうでない場合は、自分が何をしているのかを知っていれば、それをハックすることができます（これについては開発しませんが、これは算術シフトと論理シフトおよび2の補数表現と関係があります）。ただし、符号なし整数を使用すると、動作がとにかく明確に定義されているため、何をするにしてもほとんど安全です。
また、32ビット整数が2 32-1より大きい値を表すことができない場合、 2 16で固定小数点演算を使用すると、範囲が216-1に制限されることに注意してください。（そして、このすべてを符号付き整数で2で除算します。この例では、使用可能な範囲は2 15-1になります）。その場合の目標は、状況に適したSHIFT_AMOUNTを選択することです。これは、整数部分の大きさと小数部分の精度の間のトレードオフです。
さて、本当の警告です。この手法は、精度が最優先事項である分野（金融、科学、軍事など）には絶対に適していません。通常の浮動小数点（float / double）も、全体的に固定小数点よりも優れたプロパティを持っていても、十分に正確ではないことがよくあります。固定小数点の精度は値に関係なく同じです（これは場合によっては利点があります）。ここで、浮動小数点数の精度は値の大きさに反比例します（つまり、大きさが小さいほど、精度が高くなります...まあ、これそれよりも複雑ですが、要点はわかります）。また、floatは、同等の（ビット数で）整数（固定小数点かどうか）よりもはるかに大きい値を持ち、高い値で精度が低下するという犠牲を払っています（1を足すか、値を大きくしても効果はありませんが、
これらの賢明な分野で作業する場合は、任意精度の目的に専用のライブラリを使用することをお勧めします（gmplibを参照してください。無料です）。計算機科学では、基本的に、精度を上げることは、値を格納するために使用するビット数についてです。高精度が欲しいですか？ビットを使用します。それで全部です。
于 2012-08-05T13:54:02.083 に答える
5
2つの選択肢があります。金融サービス業界で働いている場合は、コードが精度と正確さのために準拠する必要がある標準がある可能性があります。そのため、メモリコストに関係なく、それに従わなければなりません。私はそのビジネスが一般的に十分に資金を供給されていることを理解しているので、より多くのメモリにお金を払うことは問題ではないはずです。:)
これが個人的な使用である場合、最高の精度を得るには、整数を使用し、保管する前にすべての価格に固定係数を掛けることをお勧めします。たとえば、1セント硬貨に正確なものが必要な場合（おそらく十分ではない）、すべての価格に100を掛けて、単位がドルではなく実質的にセントになるようにします。より高い精度が必要な場合は、さらに乗算します。たとえば、100分の1セント（私が聞いた標準が一般的に適用されます）まで正確にするには、価格に10000（100 * 100）を掛けます。
現在、32ビット整数では、10000を掛けると、多額のドルを入れる余地はほとんどありません。実際の32ビットの制限である20億は、20000ドルまでの価格しか表現できないことを意味します：2000000000/10000 = 20000。結果を保持する余地がない可能性があるため、その20000に何かを掛けるとさらに悪化します。このため、64ビット整数（long long）を使用することをお勧めします。すべての価格に10000を掛けても、掛け算を超えても、大きな値を保持するための十分な余裕があります。
固定小数点の秘訣は、計算を行うときは常に、各値が実際には定数を掛けた基になる値であることを覚えておく必要があるということです。加算または減算する前に、小さい定数の値を乗算して、大きい定数の値と一致させる必要があります。乗算した後、結果を目的の定数で乗算するように戻すには、何かで除算する必要があります。定数として2の累乗以外を使用する場合は、整数除算を実行する必要があります。これは、時間的にコストがかかります。多くの人は定数として2の累乗を使用するため、除算する代わりにシフトできます。
これがすべて複雑に思えるなら、そうです。最も簡単なオプションは、doubleを使用し、必要に応じてRAMを追加購入することだと思います。それらは53ビットの精度を持っており、これはおよそ9兆、つまりほぼ16桁の10進数です。はい、あなたはまだ数十億で働いているときにペニーを失うかもしれません、しかしあなたがそれを気にかけているなら、あなたは正しい方法で億万長者ではありません。:)
于 2012-04-15T19:30:35.607 に答える
2
@Alexはここで素晴らしい答えを出しました。ただし、たとえば、エミュレートされた浮動小数点数（整数を使用して浮動小数点数のように機能する）を任意の小数点以下の桁数に丸める方法を示すなど、彼の行ったことにいくつかの改善を加えたいと思いました。以下のコードでそれを示します。しかし、私はさらに進んで、固定小数点数学を自分自身に教えるためのコードチュートリアル全体を書くことになりました。ここにあります：
私のfixed_point_mathチュートリアル：固定小数点演算、整数のみを使用した手動の「float」のような印刷、「float」のような整数の丸め、および大きな整数の分数固定小数点演算を行う方法を学ぶためのチュートリアルのような練習コード。
固定小数点演算を本当に学びたいのであれば、これは注意深く調べる価値のあるコードだと思いますが、書くのに週末全体がかかったので、すべてを完全に調べるにはおそらく数時間かかると予想してください。ただし、丸めに関する基本事項は上部のセクションにあり、わずか数分で学習できます。
GitHubの完全なコード：https ：//github.com/ElectricRCAircraftGuy/fixed_point_math 。
または、以下（Stack Overflowではそれほど多くの文字が許可されないため切り捨てられています）：
/*
fixed_point_math tutorial
- A tutorial-like practice code to learn how to do fixed-point math, manual "float"-like prints using integers only,
"float"-like integer rounding, and fractional fixed-point math on large integers.
By Gabriel Staples
www.ElectricRCAircraftGuy.com
- email available via the Contact Me link at the top of my website.
Started: 22 Dec. 2018
Updated: 25 Dec. 2018
References:
- https://stackoverflow.com/questions/10067510/fixed-point-arithmetic-in-c-programming
Commands to Compile & Run:
As a C program (the file must NOT have a C++ file extension or it will be automatically compiled as C++, so we will
make a copy of it and change the file extension to .c first):
See here: https://stackoverflow.com/a/3206195/4561887.
cp fixed_point_math.cpp fixed_point_math_copy.c && gcc -Wall -std=c99 -o ./bin/fixed_point_math_c fixed_point_math_copy.c && ./bin/fixed_point_math_c
As a C++ program:
g++ -Wall -o ./bin/fixed_point_math_cpp fixed_point_math.cpp && ./bin/fixed_point_math_cpp
*/
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
// Define our fixed point type.
typedef uint32_t fixed_point_t;
#define BITS_PER_BYTE 8
#define FRACTION_BITS 16 // 1 << 16 = 2^16 = 65536
#define FRACTION_DIVISOR (1 << FRACTION_BITS)
#define FRACTION_MASK (FRACTION_DIVISOR - 1) // 65535 (all LSB set, all MSB clear)
// // Conversions [NEVERMIND, LET'S DO THIS MANUALLY INSTEAD OF USING THESE MACROS TO HELP ENGRAIN IT IN US BETTER]:
// #define INT_2_FIXED_PT_NUM(num) (num << FRACTION_BITS) // Regular integer number to fixed point number
// #define FIXED_PT_NUM_2_INT(fp_num) (fp_num >> FRACTION_BITS) // Fixed point number back to regular integer number
// Private function prototypes:
static void print_if_error_introduced(uint8_t num_digits_after_decimal);
int main(int argc, char * argv[])
{
printf("Begin.\n");
// We know how many bits we will use for the fraction, but how many bits are remaining for the whole number,
// and what's the whole number's max range? Let's calculate it.
const uint8_t WHOLE_NUM_BITS = sizeof(fixed_point_t)*BITS_PER_BYTE - FRACTION_BITS;
const fixed_point_t MAX_WHOLE_NUM = (1 << WHOLE_NUM_BITS) - 1;
printf("fraction bits = %u.\n", FRACTION_BITS);
printf("whole number bits = %u.\n", WHOLE_NUM_BITS);
printf("max whole number = %u.\n\n", MAX_WHOLE_NUM);
// Create a variable called `price`, and let's do some fixed point math on it.
const fixed_point_t PRICE_ORIGINAL = 503;
fixed_point_t price = PRICE_ORIGINAL << FRACTION_BITS;
price += 10 << FRACTION_BITS;
price *= 3;
price /= 7; // now our price is ((503 + 10)*3/7) = 219.857142857.
printf("price as a true double is %3.9f.\n", ((double)PRICE_ORIGINAL + 10)*3/7);
printf("price as integer is %u.\n", price >> FRACTION_BITS);
printf("price fractional part is %u (of %u).\n", price & FRACTION_MASK, FRACTION_DIVISOR);
printf("price fractional part as decimal is %f (%u/%u).\n", (double)(price & FRACTION_MASK) / FRACTION_DIVISOR,
price & FRACTION_MASK, FRACTION_DIVISOR);
// Now, if you don't have float support (neither in hardware via a Floating Point Unit [FPU], nor in software
// via built-in floating point math libraries as part of your processor's C implementation), then you may have
// to manually print the whole number and fractional number parts separately as follows. Look for the patterns.
// Be sure to make note of the following 2 points:
// - 1) the digits after the decimal are determined by the multiplier:
// 0 digits: * 10^0 ==> * 1 <== 0 zeros
// 1 digit : * 10^1 ==> * 10 <== 1 zero
// 2 digits: * 10^2 ==> * 100 <== 2 zeros
// 3 digits: * 10^3 ==> * 1000 <== 3 zeros
// 4 digits: * 10^4 ==> * 10000 <== 4 zeros
// 5 digits: * 10^5 ==> * 100000 <== 5 zeros
// - 2) Be sure to use the proper printf format statement to enforce the proper number of leading zeros in front of
// the fractional part of the number. ie: refer to the "%01", "%02", "%03", etc. below.
// Manual "floats":
// 0 digits after the decimal
printf("price (manual float, 0 digits after decimal) is %u.",
price >> FRACTION_BITS); print_if_error_introduced(0);
// 1 digit after the decimal
printf("price (manual float, 1 digit after decimal) is %u.%01lu.",
price >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price & FRACTION_MASK) * 10 / FRACTION_DIVISOR);
print_if_error_introduced(1);
// 2 digits after decimal
printf("price (manual float, 2 digits after decimal) is %u.%02lu.",
price >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price & FRACTION_MASK) * 100 / FRACTION_DIVISOR);
print_if_error_introduced(2);
// 3 digits after decimal
printf("price (manual float, 3 digits after decimal) is %u.%03lu.",
price >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price & FRACTION_MASK) * 1000 / FRACTION_DIVISOR);
print_if_error_introduced(3);
// 4 digits after decimal
printf("price (manual float, 4 digits after decimal) is %u.%04lu.",
price >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price & FRACTION_MASK) * 10000 / FRACTION_DIVISOR);
print_if_error_introduced(4);
// 5 digits after decimal
printf("price (manual float, 5 digits after decimal) is %u.%05lu.",
price >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price & FRACTION_MASK) * 100000 / FRACTION_DIVISOR);
print_if_error_introduced(5);
// 6 digits after decimal
printf("price (manual float, 6 digits after decimal) is %u.%06lu.",
price >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price & FRACTION_MASK) * 1000000 / FRACTION_DIVISOR);
print_if_error_introduced(6);
printf("\n");
// Manual "floats" ***with rounding now***:
// - To do rounding with integers, the concept is best understood by examples:
// BASE 10 CONCEPT:
// 1. To round to the nearest whole number:
// Add 1/2 to the number, then let it be truncated since it is an integer.
// Examples:
// 1.5 + 1/2 = 1.5 + 0.5 = 2.0. Truncate it to 2. Good!
// 1.99 + 0.5 = 2.49. Truncate it to 2. Good!
// 1.49 + 0.5 = 1.99. Truncate it to 1. Good!
// 2. To round to the nearest tenth place:
// Multiply by 10 (this is equivalent to doing a single base-10 left-shift), then add 1/2, then let
// it be truncated since it is an integer, then divide by 10 (this is a base-10 right-shift).
// Example:
// 1.57 x 10 + 1/2 = 15.7 + 0.5 = 16.2. Truncate to 16. Divide by 10 --> 1.6. Good.
// 3. To round to the nearest hundredth place:
// Multiply by 100 (base-10 left-shift 2 places), add 1/2, truncate, divide by 100 (base-10
// right-shift 2 places).
// Example:
// 1.579 x 100 + 1/2 = 157.9 + 0.5 = 158.4. Truncate to 158. Divide by 100 --> 1.58. Good.
//
// BASE 2 CONCEPT:
// - We are dealing with fractional numbers stored in base-2 binary bits, however, and we have already
// left-shifted by FRACTION_BITS (num << FRACTION_BITS) when we converted our numbers to fixed-point
// numbers. Therefore, *all we have to do* is add the proper value, and we get the same effect when we
// right-shift by FRACTION_BITS (num >> FRACTION_BITS) in our conversion back from fixed-point to regular
// numbers. Here's what that looks like for us:
// - Note: "addend" = "a number that is added to another".
// (see https://www.google.com/search?q=addend&oq=addend&aqs=chrome.0.0l6.1290j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8).
// - Rounding to 0 digits means simply rounding to the nearest whole number.
// Round to: Addends:
// 0 digits: add 5/10 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/2
// 1 digits: add 5/100 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/20
// 2 digits: add 5/1000 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/200
// 3 digits: add 5/10000 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/2000
// 4 digits: add 5/100000 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/20000
// 5 digits: add 5/1000000 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/200000
// 6 digits: add 5/10000000 * FRACTION_DIVISOR ==> + FRACTION_DIVISOR/2000000
// etc.
printf("WITH MANUAL INTEGER-BASED ROUNDING:\n");
// Calculate addends used for rounding (see definition of "addend" above).
fixed_point_t addend0 = FRACTION_DIVISOR/2;
fixed_point_t addend1 = FRACTION_DIVISOR/20;
fixed_point_t addend2 = FRACTION_DIVISOR/200;
fixed_point_t addend3 = FRACTION_DIVISOR/2000;
fixed_point_t addend4 = FRACTION_DIVISOR/20000;
fixed_point_t addend5 = FRACTION_DIVISOR/200000;
// Print addends used for rounding.
printf("addend0 = %u.\n", addend0);
printf("addend1 = %u.\n", addend1);
printf("addend2 = %u.\n", addend2);
printf("addend3 = %u.\n", addend3);
printf("addend4 = %u.\n", addend4);
printf("addend5 = %u.\n", addend5);
// Calculate rounded prices
fixed_point_t price_rounded0 = price + addend0; // round to 0 decimal digits
fixed_point_t price_rounded1 = price + addend1; // round to 1 decimal digits
fixed_point_t price_rounded2 = price + addend2; // round to 2 decimal digits
fixed_point_t price_rounded3 = price + addend3; // round to 3 decimal digits
fixed_point_t price_rounded4 = price + addend4; // round to 4 decimal digits
fixed_point_t price_rounded5 = price + addend5; // round to 5 decimal digits
// Print manually rounded prices of manually-printed fixed point integers as though they were "floats".
printf("rounded price (manual float, rounded to 0 digits after decimal) is %u.\n",
price_rounded0 >> FRACTION_BITS);
printf("rounded price (manual float, rounded to 1 digit after decimal) is %u.%01lu.\n",
price_rounded1 >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price_rounded1 & FRACTION_MASK) * 10 / FRACTION_DIVISOR);
printf("rounded price (manual float, rounded to 2 digits after decimal) is %u.%02lu.\n",
price_rounded2 >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price_rounded2 & FRACTION_MASK) * 100 / FRACTION_DIVISOR);
printf("rounded price (manual float, rounded to 3 digits after decimal) is %u.%03lu.\n",
price_rounded3 >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price_rounded3 & FRACTION_MASK) * 1000 / FRACTION_DIVISOR);
printf("rounded price (manual float, rounded to 4 digits after decimal) is %u.%04lu.\n",
price_rounded4 >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price_rounded4 & FRACTION_MASK) * 10000 / FRACTION_DIVISOR);
printf("rounded price (manual float, rounded to 5 digits after decimal) is %u.%05lu.\n",
price_rounded5 >> FRACTION_BITS, (uint64_t)(price_rounded5 & FRACTION_MASK) * 100000 / FRACTION_DIVISOR);
// =================================================================================================================
printf("\nRELATED CONCEPT: DOING LARGE-INTEGER MATH WITH SMALL INTEGER TYPES:\n");
// RELATED CONCEPTS:
// Now let's practice handling (doing math on) large integers (ie: large relative to their integer type),
// withOUT resorting to using larger integer types (because they may not exist for our target processor),
// and withOUT using floating point math, since that might also either not exist for our processor, or be too
// slow or program-space-intensive for our application.
// - These concepts are especially useful when you hit the limits of your architecture's integer types: ex:
// if you have a uint64_t nanosecond timestamp that is really large, and you need to multiply it by a fraction
// to convert it, but you don't have uint128_t types available to you to multiply by the numerator before
// dividing by the denominator. What do you do?
// - We can use fixed-point math to achieve desired results. Let's look at various approaches.
// - Let's say my goal is to multiply a number by a fraction < 1 withOUT it ever growing into a larger type.
// - Essentially we want to multiply some really large number (near its range limit for its integer type)
// by some_number/some_larger_number (ie: a fraction < 1). The problem is that if we multiply by the numerator
// first, it will overflow, and if we divide by the denominator first we will lose resolution via bits
// right-shifting out.
// Here are various examples and approaches.
// -----------------------------------------------------
// EXAMPLE 1
// Goal: Use only 16-bit values & math to find 65401 * 16/127.
// Result: Great! All 3 approaches work, with the 3rd being the best. To learn the techniques required for the
// absolute best approach of all, take a look at the 8th approach in Example 2 below.
// -----------------------------------------------------
uint16_t num16 = 65401; // 1111 1111 0111 1001
uint16_t times = 16;
uint16_t divide = 127;
printf("\nEXAMPLE 1\n");
// Find the true answer.
// First, let's cheat to know the right answer by letting it grow into a larger type.
// Multiply *first* (before doing the divide) to avoid losing resolution.
printf("%u * %u/%u = %u. <== true answer\n", num16, times, divide, (uint32_t)num16*times/divide);
// 1st approach: just divide first to prevent overflow, and lose precision right from the start.
uint16_t num16_result = num16/divide * times;
printf("1st approach (divide then multiply):\n");
printf(" num16_result = %u. <== Loses bits that right-shift out during the initial divide.\n", num16_result);
// 2nd approach: split the 16-bit number into 2 8-bit numbers stored in 16-bit numbers,
// placing all 8 bits of each sub-number to the ***far right***, with 8 bits on the left to grow
// into when multiplying. Then, multiply and divide each part separately.
// - The problem, however, is that you'll lose meaningful resolution on the upper-8-bit number when you
// do the division, since there's no bits to the right for the right-shifted bits during division to
// be retained in.
// Re-sum both sub-numbers at the end to get the final result.
// - NOTE THAT 257 IS THE HIGHEST *TIMES* VALUE I CAN USE SINCE 2^16/0b0000,0000,1111,1111 = 65536/255 = 257.00392.
// Therefore, any *times* value larger than this will cause overflow.
uint16_t num16_upper8 = num16 >> 8; // 1111 1111
uint16_t num16_lower8 = num16 & 0xFF; // 0111 1001
num16_upper8 *= times;
num16_lower8 *= times;
num16_upper8 /= divide;
num16_lower8 /= divide;
num16_result = (num16_upper8 << 8) + num16_lower8;
printf("2nd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits at far right):\n");
printf(" num16_result = %u. <== Loses bits that right-shift out during the divide.\n", num16_result);
// 3rd approach: split the 16-bit number into 2 8-bit numbers stored in 16-bit numbers,
// placing all 8 bits of each sub-number ***in the center***, with 4 bits on the left to grow when
// multiplying and 4 bits on the right to not lose as many bits when dividing.
// This will help stop the loss of resolution when we divide, at the cost of overflowing more easily when we
// multiply.
// - NOTE THAT 16 IS THE HIGHEST *TIMES* VALUE I CAN USE SINCE 2^16/0b0000,1111,1111,0000 = 65536/4080 = 16.0627.
// Therefore, any *times* value larger than this will cause overflow.
num16_upper8 = (num16 >> 4) & 0x0FF0;
num16_lower8 = (num16 << 4) & 0x0FF0;
num16_upper8 *= times;
num16_lower8 *= times;
num16_upper8 /= divide;
num16_lower8 /= divide;
num16_result = (num16_upper8 << 4) + (num16_lower8 >> 4);
printf("3rd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits centered):\n");
printf(" num16_result = %u. <== Perfect! Retains the bits that right-shift during the divide.\n", num16_result);
// -----------------------------------------------------
// EXAMPLE 2
// Goal: Use only 16-bit values & math to find 65401 * 99/127.
// Result: Many approaches work, so long as enough bits exist to the left to not allow overflow during the
// multiply. The best approach is the 8th one, however, which 1) right-shifts the minimum possible before the
// multiply, in order to retain as much resolution as possible, and 2) does integer rounding during the divide
// in order to be as accurate as possible. This is the best approach to use.
// -----------------------------------------------------
num16 = 65401; // 1111 1111 0111 1001
times = 99;
divide = 127;
printf("\nEXAMPLE 2\n");
// Find the true answer by letting it grow into a larger type.
printf("%u * %u/%u = %u. <== true answer\n", num16, times, divide, (uint32_t)num16*times/divide);
// 1st approach: just divide first to prevent overflow, and lose precision right from the start.
num16_result = num16/divide * times;
printf("1st approach (divide then multiply):\n");
printf(" num16_result = %u. <== Loses bits that right-shift out during the initial divide.\n", num16_result);
// 2nd approach: split the 16-bit number into 2 8-bit numbers stored in 16-bit numbers,
// placing all 8 bits of each sub-number to the ***far right***, with 8 bits on the left to grow
// into when multiplying. Then, multiply and divide each part separately.
// - The problem, however, is that you'll lose meaningful resolution on the upper-8-bit number when you
// do the division, since there's no bits to the right for the right-shifted bits during division to
// be retained in.
// Re-sum both sub-numbers at the end to get the final result.
// - NOTE THAT 257 IS THE HIGHEST *TIMES* VALUE I CAN USE SINCE 2^16/0b0000,0000,1111,1111 = 65536/255 = 257.00392.
// Therefore, any *times* value larger than this will cause overflow.
num16_upper8 = num16 >> 8; // 1111 1111
num16_lower8 = num16 & 0xFF; // 0111 1001
num16_upper8 *= times;
num16_lower8 *= times;
num16_upper8 /= divide;
num16_lower8 /= divide;
num16_result = (num16_upper8 << 8) + num16_lower8;
printf("2nd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits at far right):\n");
printf(" num16_result = %u. <== Loses bits that right-shift out during the divide.\n", num16_result);
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// TRUNCATED BECAUSE STACK OVERFLOW WON'T ALLOW THIS MANY CHARACTERS.
// See the rest of the code on github: https://github.com/ElectricRCAircraftGuy/fixed_point_math
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
return 0;
} // main
// PRIVATE FUNCTION DEFINITIONS:
/// @brief A function to help identify at what decimal digit error is introduced, based on how many bits you are using
/// to represent the fractional portion of the number in your fixed-point number system.
/// @details Note: this function relies on an internal static bool to keep track of if it has already
/// identified at what decimal digit error is introduced, so once it prints this fact once, it will never
/// print again. This is by design just to simplify usage in this demo.
/// @param[in] num_digits_after_decimal The number of decimal digits we are printing after the decimal
/// (0, 1, 2, 3, etc)
/// @return None
static void print_if_error_introduced(uint8_t num_digits_after_decimal)
{
static bool already_found = false;
// Array of power base 10 values, where the value = 10^index:
const uint32_t POW_BASE_10[] =
{
1, // index 0 (10^0)
10,
100,
1000,
10000,
100000,
1000000,
10000000,
100000000,
1000000000, // index 9 (10^9); 1 Billion: the max power of 10 that can be stored in a uint32_t
};
if (already_found == true)
{
goto done;
}
if (POW_BASE_10[num_digits_after_decimal] > FRACTION_DIVISOR)
{
already_found = true;
printf(" <== Fixed-point math decimal error first\n"
" starts to get introduced here since the fixed point resolution (1/%u) now has lower resolution\n"
" than the base-10 resolution (which is 1/%u) at this decimal place. Decimal error may not show\n"
" up at this decimal location, per say, but definitely will for all decimal places hereafter.",
FRACTION_DIVISOR, POW_BASE_10[num_digits_after_decimal]);
}
done:
printf("\n");
}
出力：
gabriel$ cp fixed_point_math.cpp fixed_point_math_copy.c && gcc -Wall -std=c99 -o ./bin/fixed_point_math_c > fixed_point_math_copy.c && ./bin/fixed_point_math_c Begin. fraction bits = 16. whole number bits = 16. max whole number = 65535. price as a true double is 219.857142857. price as integer is 219. price fractional part is 56173 (of 65536). price fractional part as decimal is 0.857132 (56173/65536). price (manual float, 0 digits after decimal) is 219. price (manual float, 1 digit after decimal) is 219.8. price (manual float, 2 digits after decimal) is 219.85. price (manual float, 3 digits after decimal) is 219.857. price (manual float, 4 digits after decimal) is 219.8571. price (manual float, 5 digits after decimal) is 219.85713. <== Fixed-point math decimal error first starts to get introduced here since the fixed point resolution (1/65536) now has lower resolution than the base-10 resolution (which is 1/100000) at this decimal place. Decimal error may not show up at this decimal location, per say, but definitely will for all decimal places hereafter. price (manual float, 6 digits after decimal) is 219.857131. WITH MANUAL INTEGER-BASED ROUNDING: addend0 = 32768. addend1 = 3276. addend2 = 327. addend3 = 32. addend4 = 3. addend5 = 0. rounded price (manual float, rounded to 0 digits after decimal) is 220. rounded price (manual float, rounded to 1 digit after decimal) is 219.9. rounded price (manual float, rounded to 2 digits after decimal) is 219.86. rounded price (manual float, rounded to 3 digits after decimal) is 219.857. rounded price (manual float, rounded to 4 digits after decimal) is 219.8571. rounded price (manual float, rounded to 5 digits after decimal) is 219.85713. RELATED CONCEPT: DOING LARGE-INTEGER MATH WITH SMALL INTEGER TYPES: EXAMPLE 1 65401 * 16/127 = 8239. <== true answer 1st approach (divide then multiply): num16_result = 8224. <== Loses bits that right-shift out during the initial divide. 2nd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits at far right): num16_result = 8207. <== Loses bits that right-shift out during the divide. 3rd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits centered): num16_result = 8239. <== Perfect! Retains the bits that right-shift during the divide. EXAMPLE 2 65401 * 99/127 = 50981. <== true answer 1st approach (divide then multiply): num16_result = 50886. <== Loses bits that right-shift out during the initial divide. 2nd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits at far right): num16_result = 50782. <== Loses bits that right-shift out during the divide. 3rd approach (split into 2 8-bit sub-numbers with bits centered): num16_result = 1373. <== Completely wrong due to overflow during the multiply. 4th approach (split into 4 4-bit sub-numbers with bits centered): num16_result = 15870. <== Completely wrong due to overflow during the multiply. 5th approach (split into 8 2-bit sub-numbers with bits centered): num16_result = 50922. <== Loses a few bits that right-shift out during the divide. 6th approach (split into 16 1-bit sub-numbers with bits skewed left): num16_result = 50963. <== Loses the fewest possible bits that right-shift out during the divide. 7th approach (split into 16 1-bit sub-numbers with bits skewed left): num16_result = 50963. <== [same as 6th approach] Loses the fewest possible bits that right-shift out during the divide. [BEST APPROACH OF ALL] 8th approach (split into 16 1-bit sub-numbers with bits skewed left, w/integer rounding during division): num16_result = 50967. <== Loses the fewest possible bits that right-shift out during the divide, & has better accuracy due to rounding during the divide.
参照：
- [私のリポジトリ] https://github.com/ElectricRCAircraftGuy/eRCaGuy_analogReadXXbit/blob/master/eRCaGuy_analogReadXXbit.cpp-下部の「整数演算の丸めメモ」を参照してください。
于 2018-12-26T20:26:56.123 に答える
0
あなたの唯一の目的がメモリを節約することであるならば、私はあなたがそうすることを勧めません。価格計算の誤差が累積する可能性があり、それを台無しにすることになります。
本当に同様のものを実装したい場合は、価格の最小間隔を取り、intおよびinteger操作を直接使用して数値を操作できますか？表示時に浮動小数点数に変換するだけで、作業が楽になります。
于 2012-04-09T00:03:23.207 に答える