wordpress API が許可するものよりも一般化可能なソリューションに興味がある場合 (全体的な理解を深めるため)、以下は単純ですが完全なデモです。
HTMLは次のとおりです。
<input id="posted_data" ></input>
<button id="saveBtn">Save</button>
JS は次のとおりです。
$(document.body).on('click', '#saveBtn', function(){
var posted_data=$('#posted_data').val();
var url="/submit_page.php";
$.ajax({url: url, data: {posted_data:posted_data }, type: "POST",
success: function(response){
//do something with the `response` data
} //success
}); //ajax
}); //.saveEditBtn
submit_page.php は次のとおりです。
$posted_data=$_POST['posted_data'];
$posted_data; //do something with this variable, like insert it into a database
echo "Success"; // this will be the `response` variable in the JS above.