Android には 2 つの Web ビュー (SetWebViewClient と SetWebChromeClient) が付属しており、通常の Web クライアントでは WebSocket がサポートされていないことは明らかです。
ただし、Android ブラウザー上の Chrome が Websockets をサポートしているように見えることを除いて、WebChromeClient の機能についてはわかりません。
WebChromeClient が Websockets をサポートしているかどうかを確認できますか?
(この特定の回答では、WebChromeClient に関する十分な情報が提供されませんでした。setWebViewClientと setWebChromeClient の違いは何ですか? )