r - 確率変数のサンプルと n が与えられた場合、n 個の X の合計の ecdf を見つけるにはどうすればよいですか?

Question

X私は一般的なディストリビューションに適合できないため、現在はX ~ ecdf(sample_data).

の経験分布を計算するにはどうすればよいですsum(X1 + ... + Xn)かn? X1 から Xn は iid です。

Answer 1

その合計の分布を推定するには、nから変量を置換して繰り返しサンプリング (および合計を取得) しsample_dataます。( ecdf と同様に、sample()の各要素に等確率質量を配置するため、中間ステップとしてsample_data計算する必要はありません。)ecdf(sample_data)

# Create some example data
sample_data <- runif(100)

n <- 10
X <- replicate(1000, sum(sample(sample_data, size=n, replace=TRUE)))

# Plot the estimated distribution of the sum of n variates.
hist(X, breaks=40, col="grey", main=expression(sum(x[i], i==1, n)))
box(bty="l")

# Plot the ecdf of the sum
plot(ecdf(X))

Answer 2

まず、一般化して単純化します。ステップ関数の CDF X と Y を解きます。独立していますが、同一分布ではありません。すべてのステップ ジャンプ x _iとすべてのステップ ジャンプ y _{iに対して、X + Y の CDF の x i} +y _iに対応するステップ ジャンプがあるため、X + Y の CDF は次のリストによって特徴付けられます。

sorted(x + y for x in X for y in Y)

つまり、X の CDF に k 個の点がある場合、(X ₁ + ... + X _{n ) には k} ⁿが存在します。最後に k 以外をすべて破棄することで、これを扱いやすい数に減らすことができますが、明らかに中間の計算は時間とスペースの面でコストがかかります。

また、元の CDF が X のECDFであっても、すべての k ⁿポイントを保持したとしても、結果は(X ₁ + ... + X _{n ) の ECDF には}ならないことに注意してください。

結論として、ジョシュのソリューションを使用してください。