コメントの後ろに、「return true;」を追加してみてください。onclick の最後まで (未テスト)...
<a href='weekone.php' target='weekone' onclick='window.open("weektwo.php","weektwo"); window.open("weekthree.php","weekthree"); return true;'>Link</a>
アップデート
更新された質問に照らして、PHP 関数「htmlentities」を使用してクエリ文字列を「HTML エンコーディング」してみてください。
私はあなたの元の(編集前の)コードに基づいています。この場合、編集をお願いして申し訳ありませんが、ブラウザに送信されたものを正確に表示するようにお願いしました...
<a href='weekone.php?Name=<?=htmlentities($i[Name])?>' target='<?=$i[Name]?> weekone' onclick='window.open("weektwo.php?Name=<?=htmlentities($i[Name])?>","<?=$i[Name]?> weektwo"); window.open("weekthree.php?Name=<?=htmlentities($i[Name])?>","<?=$i[Name]?> weekthree")'>Link</a>
UPDATE 2(私が愚かなため)
「HTML エンコーディング」ではなく、「urlencode」を使用した「URL エンコーディング」である必要があります...
<a href='weekone.php?Name=<?=urlencode($i[Name])?>' target='<?=$i[Name]?> weekone' onclick='window.open("weektwo.php?Name=<?=urlencode($i[Name])?>","<?=$i[Name]?> weektwo"); window.open("weekthree.php?Name=<?=urlencode($i[Name])?>","<?=$i[Name]?> weekthree")'>Link</a>