python - 最も近い正の半確定行列を計算するにはどうすればよいですか？

Question

私はRからPythonに来て、Pythonを使用してRで行うことに慣れている多くのことを再現しようとしています。Rの行列ライブラリにはnearPD()、指定された行列に最も近い正の半確定（PSD）行列を見つけるという非常に気の利いた関数があります。Python / Numpyに慣れていないので、何かをコーディングすることはできますが、何かがすでに存在している場合でも、車輪の再発明にそれほど興奮することはありません。Pythonの既存の実装に関するヒントはありますか？

Answer 1

必要な行列を返すライブラリはないと思いますが、Higham（2000）の近東正の半確定行列アルゴリズムの「ただの楽しみ」コーディングを次に示します。

import numpy as np,numpy.linalg

def _getAplus(A):
    eigval, eigvec = np.linalg.eig(A)
    Q = np.matrix(eigvec)
    xdiag = np.matrix(np.diag(np.maximum(eigval, 0)))
    return Q*xdiag*Q.T

def _getPs(A, W=None):
    W05 = np.matrix(W**.5)
    return  W05.I * _getAplus(W05 * A * W05) * W05.I

def _getPu(A, W=None):
    Aret = np.array(A.copy())
    Aret[W > 0] = np.array(W)[W > 0]
    return np.matrix(Aret)

def nearPD(A, nit=10):
    n = A.shape[0]
    W = np.identity(n) 
# W is the matrix used for the norm (assumed to be Identity matrix here)
# the algorithm should work for any diagonal W
    deltaS = 0
    Yk = A.copy()
    for k in range(nit):
        Rk = Yk - deltaS
        Xk = _getPs(Rk, W=W)
        deltaS = Xk - Rk
        Yk = _getPu(Xk, W=W)
    return Yk

紙の例でテストすると、正解が返されます

print nearPD(np.matrix([[2,-1,0,0],[-1,2,-1,0],[0,-1,2,-1],[0,0,-1,2]]),nit=10)
[[ 1.         -0.80842467  0.19157533  0.10677227]
 [-0.80842467  1.         -0.65626745  0.19157533]
 [ 0.19157533 -0.65626745  1.         -0.80842467]
 [ 0.10677227  0.19157533 -0.80842467  1.        ]]

Answer 2

これはおそらく、相関行列と共分散行列の両方を考慮する DomPazz answer のばかげた拡張です。また、多数の行列を扱っている場合は早期終了します。

def near_psd(x, epsilon=0):
    '''
    Calculates the nearest postive semi-definite matrix for a correlation/covariance matrix

    Parameters
    ----------
    x : array_like
      Covariance/correlation matrix
    epsilon : float
      Eigenvalue limit (usually set to zero to ensure positive definiteness)

    Returns
    -------
    near_cov : array_like
      closest positive definite covariance/correlation matrix

    Notes
    -----
    Document source
    http://www.quarchome.org/correlationmatrix.pdf

    '''

    if min(np.linalg.eigvals(x)) > epsilon:
        return x

    # Removing scaling factor of covariance matrix
    n = x.shape[0]
    var_list = np.array([np.sqrt(x[i,i]) for i in xrange(n)])
    y = np.array([[x[i, j]/(var_list[i]*var_list[j]) for i in xrange(n)] for j in xrange(n)])

    # getting the nearest correlation matrix
    eigval, eigvec = np.linalg.eig(y)
    val = np.matrix(np.maximum(eigval, epsilon))
    vec = np.matrix(eigvec)
    T = 1/(np.multiply(vec, vec) * val.T)
    T = np.matrix(np.sqrt(np.diag(np.array(T).reshape((n)) )))
    B = T * vec * np.diag(np.array(np.sqrt(val)).reshape((n)))
    near_corr = B*B.T    

    # returning the scaling factors
    near_cov = np.array([[near_corr[i, j]*(var_list[i]*var_list[j]) for i in xrange(n)] for j in xrange(n)])
    return near_cov