Web.Config ファイルの connectionStrings セクションを置き換えるには、次の操作を実行できる必要があります (テストされていませんが、機能するはずです)。
<?xml version="1.0"?>
<configuration xmlns:xdt="http://schemas.microsoft.com/XML-Document-Transform">
<connectionStrings xdt:Transform="Replace">
<add name="AuthenticationDatabase" connectionString="connection-string-here" providerName="System.Data.SqlClient" />
<add name="OtherDatabase" connectionString="connection-string-here" providerName="System.Data.SqlClient" />
</connectionStrings>
</configuration>
既存の connectionString を更新するだけの場合:
<?xml version="1.0"?>
<configuration xmlns:xdt="http://schemas.microsoft.com/XML-Document-Transform">
<connectionStrings>
<add xdt:Transform="SetAttributes" xdt:Locator="Match(name)" name="AuthenticationDatabase" connectionString="new-string-here" providerName="System.Data.SqlClient" />
</connectionStrings>
</configuration>