クリック イベントで 2 つのボタンを「循環」させようとしています。やることは些細なことですが、以下に示すよりも簡潔な方法で達成できるのではないかと思います。
$('button#start').click( function() {
$(this).addClass('hide');
$('button#stop').removeClass('hide');
});
$('button#stop').click( function() {
$(this).addClass('hide');
$('button#start').removeClass('hide');
});