ホスティング会社のデータベースにアクセスできるのは1つだけであると仮定すると(少なくとも特定のユーザー名/パスワードでは、ほとんどの場合そうです)、登録済みサーバーをデフォルトに設定することで、ドロップダウンを使用する必要がまったくなくなります。アクセスすることになっているデータベース:

(ここでも時間がかかる場合がありますが、これは1回限りです。リストが入力されるのを待つ代わりに、入力することもできます。)
このように、ホストが作成したログインによってデフォルトでtempdbなどにルーティングされた場合でも、ManagementStudioはデータベースのコンテキストにユーザーを配置します。
どういうわけか間違って解釈した「データベースを使用」ドロップダウンではなく、オブジェクトエクスプローラーノードについて話していることがわかりました。データベースノードを強調表示して(展開しないでください)、F7(オブジェクトエクスプローラーの詳細)をクリックしてみてください。これがロードされた場合は、階層をナビゲートする代わりになります。ボーナスとして、ここに多くのエンティティ属性を表示したり、オブジェクトエクスプローラーで制御できない2つの項目を複数選択したりできます。
それでも問題が解決しない場合は、ホストが見た目よりもうまく支援してくれるはずです。SSMS 2012がサポートされている場合は、SSMS 2012でこれをテストし、再現できることを確認または拒否できる必要があります。サポートされていない場合は、SSMS 2008もインストールして(共存可能)、この特定のサーバーの管理に使用することをお勧めします。
もちろん、オブジェクトエクスプローラーで実行できること(および実行できないことの多く)は、カタログビューやDMVを使用して実行できます。したがって、何をすべきかを決定する前に、Object Explorerを使用している目的を正確に確認(または共有)することをお勧めします-Object Explorerなしでそれを行う方法がある場合は、2つのバージョンを使用するよりも回避策の方がよいでしょう。ツールの機能(2012 SSMSの改善は、オブジェクトエクスプローラーとはまったく関係がないため)。