変数カテゴリを GET として渡す必要があります。つまり、URL に ?category=category が必要ですが、表示されない理由がわかりません。
$(document).ready(function(e) {
    $("#sidebar li").click(function(e) {
        var category = $(this).html();
        $.ajax({
            type: 'GET',
            url: '/',
            data: {
                category: category
            },
            success: function(data) {}
        });
    });
});
ありがとう
編集:私がいるのと同じページで変数を渡す必要があります:index.php