認証時にブラウザのコールバック URL を確認してから、ホームページにリダイレクトする必要があります。これを使って、
browser.setWebViewClient(new TwitterWebViewClient());
private class TwitterWebViewClient extends WebViewClient {
    @Override
    public boolean shouldOverrideUrlLoading(WebView view, String url) {
        Log.d(TAG, "Redirecting URL " + url);
        if (url.startsWith(CALLBACK_URL)) {
            browser.loadUrl(TWITTER_HOME_URL);              
            return true;
        }  else if (url.startsWith("authorize")) {
            return false;
        }
        return true;
    }
    @Override
    public void onReceivedError(WebView view, int errorCode, String description, String failingUrl) { }
    @Override
    public void onPageStarted(WebView view, String url, Bitmap favicon) { }
    @Override
    public void onPageFinished(WebView view, String url) { }
}