$row['file_name']チェックボックス入力フィールドの最後にあるの内容を使用しようとしていますvalue=""。
    <?php 
        echo "<form action=\"process.php\" method=\"post\">";
          while($row = mysql_fetch_array($result))
          {
          echo "<input type=\"checkbox\" name=\"opt[]\"  value=\" \" /> " . $row['file_name'];
          echo "<br />";
          }
        echo "<br><br>";
        echo "<input type=\"submit\" name=\"formSubmit\" value=\"Send\" />";
        echo "</form>"; 
    ?>