数値文字列を数値に変換しようとしていて、その値を増やしたい (または減らしたい) ため、最後に元の場所 (スパン内) に書き戻す必要があります。しかし、parseInt を試すと、常に NaN が返されます。
var like_value = "0";
if (navigator.userAgent.indexOf("Firefox") != -1)//firefox
like_value = document.getElementById('mySpan').innerHTML;
else
like_value = document.getElementById('mySpan').innerText;
like_value = like_value.substring(1, like_value.length - 1);
var real_number = parseInt(like_value, 10);
real_number++;
alert(real_number);//it displays NaN !!!
if (navigator.userAgent.indexOf("Firefox") != -1)//firefox
document.getElementById('mySpan').innerHTML = real_number;
else
like_value = document.getElementById('mySpan').innerText = real_number;
部分文字列に問題があるはずです。もちろん、期待どおりの結果が得られますが、int に正しく変換できない可能性があります。