web.config を指す接続文字列を持つ Entity Framework デザイナー ファイル (edmx) があります。それはうまくいきます。
接続文字列を変更すると、Web サイトの実行中に変更が表示されますが、接続文字列を変更して edmx デザイナーを更新すると、最初に指定された接続文字列が使用されます。
さらに調査すると、デザイナーのプロパティを表示すると、web.config の接続文字列が使用されていることがわかりますが、web.config で変更した値は反映されていません。