textarea の getText() メソッドを使用してテキストを取得します。System.out.println() を使用してコンソールに出力するか、コンソールでない場合はアプローチに従ってください。これらの処理は、JButton のイベント ハンドラ内で行います。
public void actionPerformed(ActionEvent aew)
{
JTextArea text = new JTextArea();
String result = text.getText();
}