現在のサイズを維持し、垂直スクロールバーを使用することをお勧めします。ただし、本当にそれが必要な場合は、TextBox をグリッドに配置します。グリッド行の高さを自動に設定します。TextBox の Height を Auto に設定します。テキスト ボックスの VerticalAlignment を Stretch に設定します。以下のコードでは、スクロールバーの設定を残しました。必要に応じて変更できます。
<Grid>
<Grid.RowDefinitions>
<RowDefinition Height="Auto" />
</Grid.RowDefinitions>
<TextBox Grid.Row="0" x:Name="scriptTextBox" Margin="10" Height="Auto" Width="Auto" FontFamily="Consolas, Courier New"
HorizontalScrollBarVisibility="Auto" VerticalScrollBarVisibility="Auto"
MaxLines="9999" AcceptsReturn="True" AcceptsTab="True" HorizontalAlignment="Stretch" VerticalAlignment="Stretch"
Text="{Binding Path=Script, Mode=TwoWay, UpdateSourceTrigger=PropertyChanged}"
/>
</Grid>