c - さまざまなフロート値のイプシロン

Question

FLT_MINゼロに最も近い定数があります。some number価値に最も近づく方法は？

例として：

float nearest_to_1000 = 1000.0f + epsilon;
// epsilon must be the smallest value satisfying condition:
// nearest_to_1000 > 1000.0f

特殊関数を使わずに数式を使いたいです。

Answer 1

Cは、<math.h>ヘッダーでこのための関数を提供します。は、に向かう方向の、nextafterf(x, INFINITY)の次の表現可能な値です。xINFINITY

ただし、自分でやりたい場合は、次のようにします。

以下は、IEEE 754を想定した、単精度（浮動小数点）の場合に求めるイプシロンを返します。ライブラリルーチンの使用については、下部の注を参照してください。

#include <float.h>
#include <math.h>


/*  Return the ULP of q.

    This was inspired by Algorithm 3.5 in Siegfried M. Rump, Takeshi Ogita, and
    Shin'ichi Oishi, "Accurate Floating-Point Summation", _Technical Report
    05.12_, Faculty for Information and Communication Sciences, Hamburg
    University of Technology, November 13, 2005.
*/
float ULP(float q)
{
    // SmallestPositive is the smallest positive floating-point number.
    static const float SmallestPositive = FLT_EPSILON * FLT_MIN;

    /*  Scale is .75 ULP, so multiplying it by any significand in [1, 2) yields
        something in [.75 ULP, 1.5 ULP) (even with rounding).
    */
    static const float Scale = 0.75f * FLT_EPSILON;

    q = fabsf(q);

    /*  In fmaf(q, -Scale, q), we subtract q*Scale from q, and q*Scale is
        something more than .5 ULP but less than 1.5 ULP.  That must produce q
        - 1 ULP.  Then we subtract that from q, so we get 1 ULP.

        The significand 1 is of particular interest.  We subtract .75 ULP from
        q, which is midway between the greatest two floating-point numbers less
        than q.  Since we round to even, the lesser one is selected, which is
        less than q by 1 ULP of q, although 2 ULP of itself.
    */
    return fmaxf(SmallestPositive, q - fmaf(q, -Scale, q));
}

以下は、渡された値の後にfloatで表現可能な次の値を返します（-0と+0を同じものとして扱います）。

#include <float.h>
#include <math.h>


/*  Return the next floating-point value after the finite value q.

    This was inspired by Algorithm 3.5 in Siegfried M. Rump, Takeshi Ogita, and
    Shin'ichi Oishi, "Accurate Floating-Point Summation", _Technical Report
    05.12_, Faculty for Information and Communication Sciences, Hamburg
    University of Technology, November 13, 2005.
*/
float NextAfterf(float q)
{
    /*  Scale is .625 ULP, so multiplying it by any significand in [1, 2)
        yields something in [.625 ULP, 1.25 ULP].
    */
    static const float Scale = 0.625f * FLT_EPSILON;

    /*  Either of the following may be used, according to preference and
        performance characteristics.  In either case, use a fused multiply-add
        (fmaf) to add to q a number that is in [.625 ULP, 1.25 ULP].  When this
        is rounded to the floating-point format, it must produce the next
        number after q.
    */
#if 0
    // SmallestPositive is the smallest positive floating-point number.
    static const float SmallestPositive = FLT_EPSILON * FLT_MIN;

    if (fabsf(q) < 2*FLT_MIN)
        return q + SmallestPositive;

    return fmaf(fabsf(q), Scale, q);
#else
    return fmaf(fmaxf(fabsf(q), FLT_MIN), Scale, q);
#endif
}

ライブラリルーチンが使用されますが、fmaxf（引数の最大値）とfabsf（絶対値）は簡単に置き換えることができます。fmafmultiply-addが融合されたアーキテクチャのハードウェア命令にコンパイルする必要があります。それができない場合fmaf(a, b, c)、この使用法では。に置き換えることができます(double) a * b + c。（IEEE-754 binary64には、置き換えるのに十分な範囲と精度がありfmafます。他の選択肢はそうでdoubleはない場合があります。）

q * Scalefused-multiply addの別の代替方法は、異常な場合にいくつかのテストを追加し、それらを個別に処理することです。*その他の場合、乗算と加算は通常の演算子と演算子で別々に実行できます+。