実際には非常に単純です（コードは、追加する必要があるものよりも難しいです）：

function dropdownlistprocessing () {

    var selectedval = $("#mydropdown").val();

    // now process your dropdownlist

    $("#mydropdown").val(selectedval);
}

編集：ご覧のとおり、使用.val()すると選択した値が取得されます。を使用して値を渡す.val(foo)と、ドロップダウンリストに選択項目が設定されます。

EDIT2 以下のコメントによると、これが欲しいと思いますか?

function dropdownlistprocessing () {

    var selectedval = $("#mydropdown_A").val();

    // now process your dropdownlist

    $("#mydropdown_B").val(selectedval);
}