デフォルトの youtube ビデオ プレーヤー (ユーザーが HTML5 プレビューを選択していない場合) は、Flash ビデオ コントロールです。Flash は、IE の Windows アプリケーション ストア ("Metro") シェル バージョン、または WebView コントロールではサポートされていません。
ただし、YouTube に HTML5 ビデオ プレーヤーを使用するようにリクエストすることはできます (HTML5 ビデオは、IE および WebView の App Store バージョンでサポートされています)。たとえば、次のビデオは適切に再生されます。
<WebView Source="http://www.youtube.com/watch?v=cTl3U6aSd2w&html5=True" />
したがって、webview を使用してビデオを埋め込むことができるはずです。webview で HTML5 ビューアーを使用するように強制するだけです。これは、埋め込み URL へのパラメーターとして行うこともできます: Force HTML5 youtube videoを参照してください。
ただし、この設定では、HTML5 プレーヤーを優先するように指定されているだけです。YouTube は、一部の動画でまだ Flash Player を使用しようとする場合がありますが、すべての場合に機能するとは限りません。