c++ - 浮動小数点の精度を理解する

Question

次のような場合ですか？

1. 表現可能な浮動小数点値は、ゼロに近い実数直線で最も密度が高いですか？
2. 数直線がゼロから離れるにつれて、表現可能な浮動小数点値は（指数関数的に？）まばらになりますか？
3. 上記の2つが当てはまる場合、それはゼロから遠くなるほど精度が低くなることを意味しますか？

全体的な質問：精度は、 （正確に）表現できる数の密度を何らかの形で参照または依存していますか？

Answer 1

精度という用語は通常、表された値の有効桁数（ビット）を指します。したがって、精度は、表現の仮数のビット（または桁）の数によって異なります。原点からの距離は関係ありません。

あなたの言うことは、実数直線上のフロートの密度について真実です。しかし、この場合、正しい用語は精度であり、精度ではありません。小さいマグニチュードのFP数は、大きいものよりはるかに正確です。これは、範囲全体で均一な精度を持つ整数とは対照的です。

私は、すべてのコンピューター科学者が浮動小数点演算について知っておくべきことを強くお勧めします。

Answer 2

浮動小数点数は基本的に科学的記数法で保存されます。それらが正規化されている限り、数直線上のどこにいても、一貫して同じ数の有効数字があります。

密度を線形に考慮すると、浮動小数点数は0に近づくにつれて指数関数的に密度が高くなります。

0に極端に近づき、指数が最低点に達すると、浮動小数点数は非正規化されます。この時点で、有効数字が1つあるため、より正確になります。

Answer 3

答え:

1. 表現可能な浮動小数点値は、ゼロに近い実数直線で最も密集していますか? はい
2. 数直線がゼロから遠ざかるにつれて、 表現可能な浮動小数点値はまばらになります (指数関数的に?はい)? はい
3. 上記の2つが当てはまる場合、それはゼロから遠く離れた 精度が低いことを意味しますか? はい

全体的な質問: 精度は、 (正確に) 表現できる数値の密度を何らかの形で参照または依存していますか?

https://stackoverflow.com/a/24179424を参照してください

また、すべてのコンピューター科学者が浮動小数点演算について知っておくべきこともお勧めします

Answer 4

表現可能な浮動小数点値は、ゼロに近い実数直線で最も密集していますか?

IEEE 754 浮動小数点の完全な実装では、はい。

ただし、サブノーマルをサポートしないシステムでは、最小のゼロ以外の値と 2 番目に小さいゼロ以外の値の差よりも大幅に大きいゼロ付近のギャップがあります。

表現可能な浮動小数点値は、数直線がゼロから離れるにつれて (指数関数的に?) まばらになりますか?

はい、値が 2 のべき乗を通過するたびに、隣接する値の間のギャップは 2 倍になります。

上記の2つが当てはまる場合、それはゼロから遠く離れた精度が低いことを意味しますか?

それは、「精度」をどのように正確に定義するかに依存します。精度については、相対的な意味 (「有効数字」) または絶対的な意味 (「小数点以下の桁数」) のいずれかで話すことができます。

どちらがより適切かは、数値が正確に何に使用されるかによって異なります。座標やタイムスタンプなどに浮動小数点数が使用されている場合、ゼロから離れたときの精度の低下が大きな問題になる傾向があります。