set - ベキ集合と集合のデカルト積

Question

ベキ集合と別の集合のデカルト積を明示的に記述する方法。

例: P({a,b})x{a,b}

現在 P({a,b}) = {{},{a},{b},{a,b}}

だから私は {{},{a},{b},{a,b}}x{a,b} を知る必要があります

Answer 1

Xaaセットとしましょう。のベキ集合Xは次のように定義されます。

P(X) := { S | S ⊆ X }

とセットXにYなります。製品X × Yは次のように定義されます。

X × Y := { (x,y) | x ∈ X, y ∈ Y }

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ここXで とYを設定します。Xwithのべき集合のデカルト積を説明しYます。

P(X) × Y = { (S,y) | S ∈ P(X), y ∈ Y }

しかしS ∈ P(X)、場合に限りS ⊆ X。これにより、製品を書き直すことができます

P(X) × Y = { (S,y) | S ⊆ P(X), y ∈ Y }

言い換えると、P(X) × Yは、最初の座標が のサブセットでXあり、2 番目の座標が の要素である順序付けられたペアで構成されYます。

Answer 2

1. あなたの例はあなたの質問と一致していません:

「ベキ集合のデカルト積を別のセットで明示的に記述する方法は?」と尋ねた後、ベキのデカルト積である P({a,b})x{a,b} の例を挙げます。同じセット、つまり {a,b} でセットします。

2. あなたの例では、あなたが言ったように：

P({a,b}) = {{},{a},{b},{a,b}}

次に、2 つのセットのデカルト積の定義を思い出してください。

E x F = {(e,f), E の e, F の f}

次に、この定義を適用すると:

P({a,b}) x {a,b} = {{},{a},{b},{a,b}} x {a,b} = {({}, a), ({ }、b)、({a}、a)、({a}、b)、({b}、a)、({b}、b)、({a、b}、a)、({a 、b}、b)}

ただし、{a} と a が「同等に」（つまり、同じ「レベル」で）扱われるケースはほとんどないため、この種のプロパティが具体的なケースや理論的な定理でさえ役立つ可能性はほとんどありません。数学的観点からは完全に正しいですが。