MySQLコマンドラインからリモートサーバー上のデータベースに接続しようとしていました。
mysql --host=<host name> --user=<username> --password=<password> <db name>
PHP ソースからデータベースに接続することに問題はありませんが、コマンド ラインから接続しようとしたときにこのエラーが発生しました。まったく同じユーザー名とパスワードで接続しました。
ERROR 1045 (28000): Access denied for user '<username>'@'<host IP address>' (using password: YES)
どちらが間違っていたのかわかりません。