OAuthを使用してGoogleにログオンするWebアプリケーションを登録できます。
https://developers.google.com/accounts/docs/OAuth
次に、GMail APIを使用してOAuthトークンを使用し、ユーザーのメールにアクセスできます
https://developers.google.com/google-apps/gmail/oauth_overview
次に、カレンダーの場合、OAuthを使用してGoogleCalendarAPIにもアクセスできます。
https://developers.google.com/google-apps/calendar/
Webアプリを作成し、Androidアプリを使用して、作成したAPIを介してWebサーバーデータベースにアクセスできます。このデータを使用して、Androidユーザーに優れたGUIを提供し、ユーザーとの対話を提供します。
別の方法は、Jan Gerlingerが述べたように、WebアプリなしでAndroidクライアントのみを使用することです。
こちらのアイデアについては、k-9メールアプリのソースコードを確認することもできます:
https ://github.com/k9mail/k-9
これは、IMAP、SMTP、MicrosoftExchangeアカウントなどの多くのプロトコルをサポートするフル機能のオープンソースAndroid電子メールクライアントです。あなたは彼らがそれをどのように行うかを知るためにソースコードを掘り下げることができます。