何かのようなもの

HTML

<select id="sselect">
    <option value="1st">1st</option>
    <option value="2nd">2nd</option>
    <option value="3rd">3rd</option>
</select>

<br><br>

<div id="ddiv"></div>

JS

$('#sselect')
    .on('keyup', function() { $('#ddiv').show().text($(this).val()) })
    .on('mouseenter', 'option', function() { $('#ddiv').show().text($(this).val()) })
    .on('mouseleave', function() { $('#ddiv').hide() })

ここで動作することを確認してください：http://jsfiddle.net/RASG/QfMGR/

FF15でテスト済み

$('myID:focus')十分でない場合は、別の方法があるのではないかと思います。