アッカーマン関数のポイントの1つは、それを再帰的に計算すると、非常に深い再帰が発生することです。
再帰の深さは、meoisationを使用しない場合の結果とほぼ同じです(カウント方法によって異なりますが、多かれ少なかれ数レベルです)。残念ながら、コールツリーに従ってメモテーブルに入力すると、メモ化はあまり購入しません。
の計算に従ってみましょうack 3 2
:
ack 3 2
ack 2 $ ack 3 1
ack 2 $ ack 2 $ ack 3 0
ack 2 $ ack 2 $ ack 2 1
ack 2 $ ack 2 $ ack 1 $ ack 2 0
ack 2 $ ack 2 $ ack 1 $ ack 1 1
ack 2 $ ack 2 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 0
ack 2 $ ack 2 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 1 -- here's the first value we can compute and put in the map
ack 2 $ ack 2 $ ack 1 $ ack 0 2 -- next three, (0,2) -> 3, (1,1)->3 and (2,0)->3
ack 2 $ ack 2 $ ack 1 3 -- need to unfold that
ack 2 $ ack 2 $ ack 0 $ ack 1 2
ack 2 $ ack 2 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 1 -- we know that, it's 3
ack 2 $ ack 2 $ ack 0 $ ack 0 3 -- okay, easy (0,3)->4, (1,2)->4
ack 2 $ ack 2 $ ack 0 4 -- (0,4)->5, (1,3)->5, (2,1)->5
ack 2 $ ack 2 5 -- unfold
ack 2 $ ack 1 $ ack 2 4
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 3
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 2
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 1
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 0 -- we know that one, 3
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 3 -- that one too, it's 5
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 5 -- but not that
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 4
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 3 -- look up
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 5 -- easy (0,5)->6
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 6 -- now (1,5)->7 is known too, and (2,2)->7
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 7
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 6
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 5
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 7 -- here (1,6)->8 becomes known
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 8 -- and here (1,7)->9, (2,3)->9
ack 2 $ ack 1 $ ack 1 9
ack 2 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 8
ack 2 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 7 -- known
ack 2 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 9 -- here we can add (1,8)->10
ack 2 $ ack 1 $ ack 0 10 -- and (1,9)->11, (2,4)->11
ack 2 $ ack 1 11
ack 2 $ ack 0 $ ack 1 10
ack 2 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 9 -- known
ack 2 $ ack 0 $ ack 0 11 -- (1,10)->12
ack 2 $ ack 0 12 -- (1,11)->13, (2,5)->13
ack 2 13
ack 1 $ ack 2 12
ack 1 $ ack 1 $ ack 2 11
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 10
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 9
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 8
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 7
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 6
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 2 5 -- uff
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 13
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 12
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 11 -- uff
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 13 -- (1,12)->14
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 14 -- (1,13)->15, (2,6)->15
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 15
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 14
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 13
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 15 -- (1,14)->16
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 16 -- (1,15)->17, (2,7)->17
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 17
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 16
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 15
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 17 -- (1,16)->18
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 18 -- (1,17)->19, (2,8)->19
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 19
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 18
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 17
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 19 -- (1,18)->20
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 20 -- (1,19)->21, (2,9)->21
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 1 21
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 20
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 19 -- known
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 21 -- (1,20)->22
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 $ ack 0 22 -- (1,21)->23, (2,10)->23
ack 1 $ ack 1 $ ack 1 23
ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 1 22
ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 21 -- known
ack 1 $ ack 1 $ ack 0 $ ack 0 23 -- (1,22)->24
ack 1 $ ack 1 $ ack 0 24 -- (1,23)->25, (2,11)->25
ack 1 $ ack 1 25
ack 1 $ ack 0 $ ack 1 24
ack 1 $ ack 0 $ ack 0 $ ack 1 23 -- known
ack 1 $ ack 0 $ ack 0 25 -- (1,24)->26
ack 1 $ ack 0 26 -- (1,25)->27, (2,12)-> 27
ack 1 27
ack 0 $ ack 1 26
ack 0 $ ack 0 $ ack 1 25
ack 0 $ ack 0 27
ack 0 28
29
したがって、新しい(まだ知られていない)ack 1 n
を計算する必要がある場合は、2つの新しいものを計算するack 0 n
必要があり、新しいack 2 n
ものが必要な場合は、2つの新しいack 1 n
もの、つまり4つの新しいものが必要ack 0 n
です。
しかし、新しいものが必要な場合は、新しいものack 3 n
が必要です。計算した後、の新しい値を計算する必要があります。呼び出し構造によって、これらはネストされた呼び出しであるため、ネストされたサンクのスタックを取得します。ack 3 (n-1) - ack 3 (n-2)
ack 2 k
ack 3 k
2^(k+2)
ack 2 n
2^(k+2)
そのネストを回避するには、計算を再構築する必要があります。たとえば、新しい必要なものack (m-1) k
を昇順で強制する必要がありますk
。
ack' m 1 = ack (m-1) $! ack (m-1) 1
ack' m n = foldl1' max [ack (m-1) k | k <- [ack m (n-2) .. ack m (n-1)]]
これにより、小さなスタックで(ゆっくりと)計算を実行できます(ただし、それでも非常に多くのヒープが必要であり、カスタマイズされたメモ化戦略が必要と思われます)。
ack m n
のみを保存しm >= 2
、メモ化されているかのように評価ack 1 n
すると、必要なメモリが十分に削減されるため、コンピューティングack 3 20
は1GB未満のヒープを使用して終了します(Int
代わりに使用Integer
すると、約2倍の速度で実行されます)。
{-# LANGUAGE BangPatterns #-}
module Main (main) where
import qualified Data.Map as M
import Control.Monad.State.Strict
import Control.Monad
type Table = M.Map (Integer,Integer) Integer
ack :: Integer -> Integer -> State Table Integer
ack 0 n = return (n+1)
ack 1 n = return (n+2)
ack m 0 = ack (m-1) 1
ack m 1 = do
!n <- ack (m-1) 1
ack (m-1) n
ack m n = do
mb <- gets (M.lookup (m,n))
case mb of
Just v -> return v
Nothing -> do
!s <- ack m (n-2)
!t <- ack m (n-1)
let foo a b = do
c <- ack (m-1) b
let d = max a c
return $! d
!v <- foldM foo 0 [s .. t]
mp <- get
put $! M.insert (m,n) v mp
return v
main :: IO ()
main = print $ evalState (ack 3 20) M.empty