https://www.dropbox.com/developers/start/setup#android
アプリケーションにドロップボックスを統合する方法については、ドキュメントが非常に明確であると思います。
あなたのマニフェストファイルは含まれていますか
<activity
android:name="com.dropbox.client2.android.AuthActivity"
android:launchMode="singleTask"
android:configChanges="orientation|keyboard">
<intent-filter>
<!-- Change this to be db- followed by your app key -->
<data android:scheme="db-INSERT-APP-KEY-HERE" />
<action android:name="android.intent.action.VIEW" />
<category android:name="android.intent.category.BROWSABLE"/>
<category android:name="android.intent.category.DEFAULT" />
</intent-filter>
</activity>
また、インターネットの許可は?
<uses-permission android:name="android.permission.INTERNET"></uses-permission>
ログインに成功せずにファイルをダウンロードまたはアップロードしようとすると、dropboxunlinkedexception が発生します。ここで認証部分を確認してください https://www.dropbox.com/developers/start/authentication#androidこれで問題が解決するはずです