matlab - ローラー間の乳剤分割

Question

最初は、そのうちの 1 つにインクが付いた多数の相互接続されたローラーがあり、それらは互いに回転します。インクは、回転するローラー間で 50/50 で共有されます。一部のローラーには複数の接続があるため、インク分割が発生する順序が重要です。視覚化は次のとおりです。

私は基本的に、プログラムが接続を順番に反復できるようにするものを探しています。私は次のようなことを考えていました：

for each roller
    if number_of_connections > 2  % # more than one connection for roller
        % # Iterate through connections sequentially, depending on the direction
        % # of rotation
    end
end

score 4 · Accepted Answer

この問題に対して、最終的にどのような解決策が得られるのか疑問に思っています。あなたのコメントから：

私が今考えている方法は、ローラーの 1 つ (おそらく最大のもの) のセグメントの固定解像度を持ち、他のすべてのローラーは、システムが回転するときにセグメントが一致するように、これの相対的な整数比率である必要があります。

現在、私がここにいるのと同じタイプのソリューションに取り組んでいるようです。

注:最後に、コピーに適したバージョンがあります。

最初に、前の質問に対する EitanT の回答で使用された構造を使用しました。

% # Initial state
C = [0, 0;   % # Roller centers (x, y)
     2, 0;
     2, 4;
     2,-5;
     8, 4;
     8,-5;
     8,-1];
R = [1,1,3,4,3,2,2];    % # Roller radii (r)
N = numel(R);           % # Amount of rollers

% # Draw the rollers
figure, hold on
ang = 0:0.1:(2 * pi);
for i = 1:N
    plot(C(i, 1) + R(i) * cos(ang), C(i, 2) + R(i) * sin(ang))
    text(C(i, 1), C(i, 2), num2str(i))
end
title('Ink rollers'), axis image

% # Find connected rollers
isconn = @(m, n)(sum(([1, -1] * C([m, n], :)) .^ 2) - sum(R([m, n])) .^ 2 < eps);
[Y, X] = meshgrid(1:N, 1:N);
conn = reshape(arrayfun(isconn, X(:), Y(:)), N, N) - eye(N);

この例を使用して、接続の順序の違いを確認しました。これは、ローラーの生成されたイメージです。

ローラーのイメージ。

ローラー 1 にインクが充填され、このインクがシステム内を伝播し、ローラー 3 と 5 または 4 と 6 を経由してローラー 7 に到達するという考え方です。

すべてのローラーの方向を手動で設定しました。このステップは、代わりに connection-matrix を使用して自動的に実行できますconn。

% # Direction of rotation (clockwise = -1, anticlockwise = 1)
rotDir = [1,-1,1,1,-1,-1,1];

次に、最小のローラーのビンの数を指定し、他のすべてのローラーのビンを拡大します。

% # Number of bins specified for smallest roller
nBins_min = 20;
nBins = round(nBins_min*R/min(R));

次のステップは、ローラーを初期化することです。構造体を使用して、インク、接続、ローラーの方向を同じ変数に保存しました。アイデアは、インク値を維持し、すべてのローラーの各セグメントの接続を追跡することです。jjローラーのセグメントがii他のローラーに接続されていない場合、これはのゼロで表されますrollers(ii).connections(jj)。それ以外の場合、接続されている場合、このセル要素には、接続先のローラーのローラーインデックスが含まれます。

% # Initialize roller struct
rollers = struct('ink',{},'connections',{},'rotDirection',{});

% # Ink
for ii = 1:N
    rollers(ii).ink = zeros(1,nBins(ii));
end
rollers(1).ink = ones(1,nBins(1));

% # Connections
for ii = 1:N
    rollers(ii).connections = zeros(1,nBins(ii));
end
for ii = 1:N
    for jj = 1:N
        if(ii~=jj)
            if(conn(ii,jj) == 1)
                connInd = getConnectionIndex(C,ii,jj,nBins(ii));
                rollers(ii).connections(connInd) = jj;
            end
        end
    end
end

% # Direction of rotation
for ii = 1:N
    rollers(ii).rotDirection = rotDir(ii);
end

上記で使用した関数をgetConnectionIndex()次の（かなり醜い）方法で実装しました。

function connectionIndex = getConnectionIndex(C,ii,jj,nBins)

p1 = C(ii, :);
p2 = C(jj, :);

if(abs(p1(2)-p2(2))<eps)
    if(p2(1)>p1(1))
        angle = 0;
    else
        angle = pi;
    end
elseif(abs(p1(1)-p2(1))<eps)
    if(p2(2)>p1(2))
        angle = pi/2;
    else
        angle = 3*pi/2;
    end
else
    angle = mod( atan((p2(1)-p1(1))/(p2(2)-p1(2))), 2*pi);
end

connectionIndex = 1+floor(nBins*angle/(2*pi));

end

この関数は、ローラーの中心点を使用して、接続の対応する角度を取得します。この角度値から、セグメントのインデックスが計算されます。

各タイムステップ (すべてのセグメントの 1 ステップの回転) で、各ローラーのインクの平均量が計算され、保存されます。このマトリックスが初期化され、最初のインク分布が計算されて保存されます。

% # Initialize averageAmountOfInk and calculate initial distribution
nTimeSteps = 200;
averageAmountOfInk = zeros(nTimeSteps,N);
for ii = 1:N
    averageAmountOfInk(1,ii) = mean(rollers(ii).ink);
end

次の手順は、時間ステップごとに実行されます。

% # Iterate through timesteps
for tt = 2:nTimeSteps

最初のローラーにインクが充填され、すべてのローラーが回転方向に従って 1 ステップ回転します。

% # Fill first roller with ink
rollers(1).ink = ones(1,nBins(1));

% # Rotate all rollers
for ii = 1:N
        rollers(ii).ink(:) = ...
            circshift(rollers(ii).ink(:),rollers(ii).rotDirection);
end

次に、一致する接続を見つけ、これら 2 つの接続のインクを均等に分割することによって、すべてのローラー接続が更新されます。

% # Update all roller-connections
for ii = 1:N
    for jj = 1:nBins(ii)
        if(rollers(ii).connections(jj) ~= 0)
            index1 = rollers(ii).connections(jj);
            index2 = find(ii == rollers(index1).connections);
            ink1 = rollers(ii).ink(jj);
            ink2 = rollers(index1).ink(index2);
            rollers(ii).ink(jj) = (ink1+ink2)/2;
            rollers(index1).ink(index2) = (ink1+ink2)/2;
        end
    end
end

最後のステップとして、ローラー上のインクの平均量が計算され、ループが終了した後にこれらの値がプロットされます。

    % # Calculate average amount of ink on each roller
    for ii = 1:N
        averageAmountOfInk(tt,ii) = mean(rollers(ii).ink);
    end
end

figure
plot(averageAmountOfInk,'b')
xlabel('Timesteps')
ylabel('Ink')

コードを実行すると、すべてのローラーの平均インクの次のプロットが生成されます。

最小ローラーの 20 セグメントと 60 タイムステップの場合、次の図が得られます。

20 セグメントと 60 タイムステップのインク。

2000 タイムステップのシミュレーションを実行すると、すべてのローラーがインクで満たされるため、1 に収束することがわかります。

20 セグメントと 2000 タイムステップのインク。

コピーに適したバージョン:

function averageAmountOfInk = inkRollerModel()
% # Initial state
C = [0, 0;   % # Roller centers (x, y)
     2, 0;
     2, 4;
     2,-5;
     8, 4;
     8,-5;
     8,-1];
R = [1,1,3,4,3,2,2];    % # Roller radii (r)
N = numel(R);           % # Amount of rollers

% # Draw the rollers
figure, hold on
ang = 0:0.1:(2 * pi);
for i = 1:N
    plot(C(i, 1) + R(i) * cos(ang), C(i, 2) + R(i) * sin(ang))
    text(C(i, 1), C(i, 2), num2str(i))
end
title('Ink rollers'), axis image

% # Find connected rollers
isconn = @(m, n)(sum(([1, -1] * C([m, n], :)) .^ 2) - sum(R([m, n])) .^ 2 < eps);
[Y, X] = meshgrid(1:N, 1:N);
conn = reshape(arrayfun(isconn, X(:), Y(:)), N, N) - eye(N);

% # Direction of rotation (clockwise = -1, anticlockwise = 1)
rotDir = [1,-1,1,1,-1,-1,1];

% # Number of bins for smallest roller
nBins_min = 20;
nBins = round(nBins_min*R/min(R));

% # Initialize roller struct
rollers = struct('ink',{},'connections',{},'rotDirection',{});

% # Ink
for ii = 1:N
    rollers(ii).ink = zeros(1,nBins(ii));
end
rollers(1).ink = ones(1,nBins(1));

% # Connections
for ii = 1:N
    rollers(ii).connections = zeros(1,nBins(ii));
end
for ii = 1:N
    for jj = 1:N
        if(ii~=jj)
            if(conn(ii,jj) == 1)
                connInd = getConnectionIndex(C,ii,jj,nBins(ii));
                rollers(ii).connections(connInd) = jj;
            end
        end
    end
end

% # Direction of rotation
for ii = 1:N
    rollers(ii).rotDirection = rotDir(ii);
end

% # Initialize averageAmountOfInk and calculate initial distribution
nTimeSteps = 200;
averageAmountOfInk = zeros(nTimeSteps,N);
for ii = 1:N
    averageAmountOfInk(1,ii) = mean(rollers(ii).ink);
end

% # Iterate through timesteps
for tt = 2:nTimeSteps
    % # Fill first roller with ink
    rollers(1).ink = ones(1,nBins(1));

    % # Rotate all rollers
    for ii = 1:N
            rollers(ii).ink(:) = ...
                circshift(rollers(ii).ink(:),rollers(ii).rotDirection);
    end

    % # Update all roller-connections
    for ii = 1:N
        for jj = 1:nBins(ii)
            if(rollers(ii).connections(jj) ~= 0)
                index1 = rollers(ii).connections(jj);
                index2 = find(ii == rollers(index1).connections);
                ink1 = rollers(ii).ink(jj);
                ink2 = rollers(index1).ink(index2);
                rollers(ii).ink(jj) = (ink1+ink2)/2;
                rollers(index1).ink(index2) = (ink1+ink2)/2;
            end
        end
    end

    % # Calculate average amount of ink on each roller
    for ii = 1:N
        averageAmountOfInk(tt,ii) = mean(rollers(ii).ink);
    end
end

figure
plot(averageAmountOfInk,'b')
xlabel('Timesteps')
ylabel('Ink')

end

function connectionIndex = getConnectionIndex(C,ii,jj,nBins)

p1 = C(ii, :);
p2 = C(jj, :);

if(abs(p1(2)-p2(2))<eps)
    if(p2(1)>p1(1))
        angle = 0;
    else
        angle = pi;
    end
elseif(abs(p1(1)-p2(1))<eps)
    if(p2(2)>p1(2))
        angle = pi/2;
    else
        angle = 3*pi/2;
    end
else
    angle = mod( atan((p2(1)-p1(1))/(p2(2)-p1(2))), 2*pi);
end

connectionIndex = 1+floor(nBins*angle/(2*pi));

end

編集：元の問題値

C = [-276.4, 565.08;...  % # Duct
     -27.82, 616.11;...  % # r2
      41.26, 562.41;...  % # r3
      52.12, 473.07;...  % # r4
     -44.97, 366.25;...  % # ink drum
      137.22, 443.76;... % # r6
      99.32, 362.13;...  % # r7
      141.22, 272.79;... % # r8
      51.67, 237.7;...   % # r9
      173.99, 177.07;... % # r10
     -203.02, 230.52;... % # r11
     -110.9, 213.53;...  % # r12
     -207.33, 131.94;... % # r13
     -187.4, 330.49;...  % # r14
      0,0...             % # Plate cylinder
];% # Roller centres (x, y)

R = [...
95/2,...  % # Duct
80/2,...  % # r2
95/2,...  % # r3
85/2,...  % # r4
208/2,... % # Drum
96/2,...  % # r6
85/2,...  % # r7
112.35/2,... % # r8
81/2,...  % # r9
90/2,...  % # r10
112.35/2,... % # r11
75/2,...  % # r12
86/2,...  % # r13
90/2,...  % # r14
406.5/2 % # Plate
]; % # Roller radii (r)

score 1 · Accepted Answer

これは実際にはコメントであり、回答ではありません。

あなたと EitanT が収束しているように見えるアプローチは、コンピューターコードに変換する興味深い数学的問題のようです。しかし、あなたの数学的モデルが実際の物理システムの挙動の正確な予測につながるかどうかについては、少し懐疑的です. 私が考えることができるいくつかの問題：

インク分割を適用する順序について話します。この種のシステムの最初のパスには意味がありますが、すべてのローラーにインクがあると、ローラーを反復処理するための適切な「順序」があるかどうかはわかりません。最初に複数のローラーにインクが付いている場合、最初のパスでも意味がありません。
小さなローラーは大きなローラーよりも速く回転するため、アルゴリズムの 1 回の反復をすべてのローラーの 1 回の回転に対応させることは実際には機能しません。
インクはローラー間で連続的に広げられるため、各ローラーのインクの高さはローラー上の位置の関数になります。

言い換えれば、あなたが無視しているように見える物理システムには多くの複雑さがあります。おそらくそれで問題ありません。このアプローチは重要なものの 90% をキャプチャします。それは私を驚かせるでしょう...しかし、そのような複雑なシステムがとても簡単にモデル化できるということも興味深いでしょう!

追加した：

このトピックに関する他の質問で、ローラーを循環する順序は重要ではないことに気付きました. したがって、「分割の順序」は、ここではニシンかもしれません。

また、単純な行列の乗算から結果を取得できると確信していますが、関連する行列をまだ試していません。しかし、おそらく、理解するのはかなり簡単です！

matlab - ローラー間の乳剤分割

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Reference