SQL へのリンクとレコードの更新に問題があります。問題は、接続されたデータ コンテキストをループしているという事実に基づいて、現在のトランザクションにあると思います。
Using db = New PostcodeLookupModelContainer()
Dim Stores = From b In db.lkpStores Where b.storeId ' = iStoreID ' Order By b.storeId
For Each store In Stores
Debug.Print(store.StorePostcode)
Dim newStore As New lkpStores()
newStore.depotId = store.depotId
newStore.StorePostcode = store.StorePostcode
newStore.depotId = store.depotId
newStore.DepotDistance = store.DepotDistance
db.lkpStores.Attach(newStore)
newStore.DepotDistance = 50
db.SaveChanges()
Next store
End Using
エラーが発生したときの行は db.SaveChanges() で、エラーは「セッションで他のスレッドが実行されているため、新しいトランザクションは許可されていません」です。