@Shoaibが答えたように、jQueryやJavascriptは必要ありません。これは、純粋な html を使用して簡単に行うことができます。

<form method="POST" action="index.php?action=contact_agent">
  <select name="agent_id" required>
    <option value="1">Agent Homer</option>
    <option value="2">Agent Lenny</option>
    <option value="3">Agent Carl</option>
  </select>
  <input type="submit" value="Submit">
</form>

1. &agent_id=そこには必要ないので、フォームアクションから削除してください。
2. name="agent_id"選択に追加
3. 必要requiredに応じて、この選択が必須であることを示す単語 do を追加します。

PHPを使用しているため、フォームを投稿することでindex.phpキャッチできagent_idます$_POST

/** Since you reference action on `form action` then value of $_GET['action'] will be contact_agent */
$action = $_GET['action'];

/** Value of $_POST['agent_id'] will be selected option value */
$agent_id = $_POST['agent_id']; 

このような単純なタスクの結論として、javascript や jQuery を使用しないでください。あなたのコメントに答える@FelipeAlvarezへ

jQueryを使用：
html：

<form method="POST" name="myform" action="index.php?action=contact_agent&agent_id="  onsubmit="SetData()">
  <select name="agent" id="agent">
    <option value="1">Agent Homer</option>
    <option value="2">Agent Lenny</option>
    <option value="3">Agent Carl</option>
  </select>
</form>

jQuery :

$('form').submit(function(){
   $(this).attr('action',$(this).attr('action')+$('#agent').val());
   $(this).submit();
});

JavaScript :

function SetData(){
   var select = document.getElementById('agent');
   var agent_id = select.options[select.selectedIndex].value;
   document.myform.action = "index.php?action=contact_agent&agent_id="+agent_id ; # or .getAttribute('action')
   myform.submit();
}

POST と GET の両方の応答をキャッチしようとする代わりに、必要なものすべてを POST に含めることができます。

あなたのコード:

<form method="POST" action="index.php?action=contact_agent&agent_id=">
  <select>
    <option value="1">Agent Homer</option>
    <option value="2">Agent Lenny</option>
    <option value="3">Agent Carl</option>
  </select>
</form>

簡単に次のようになります。

<form method="POST" action="index.php">
  <input type="hidden" name="action" value="contact_agent">
  <select name="agent_id">
    <option value="1">Agent Homer</option>
    <option value="2">Agent Lenny</option>
    <option value="3">Agent Carl</option>
  </select>
  <button type="submit">Submit POST Data</button>
</form>

次に index.php に - これらの値が入力されます

$_POST['action'] // "contact_agent"
$_POST['agent_id'] // 1, 2 or 3 based on selection in form...