SELECTを実行してIDのリストを取得し、それらのIDに基づいて更新を実行してから、それらのレコードを返します。
このようなものだと思いますが、構文がわかりません。
SELECT WebHookLogIDs = FROM WebHookLog
WHERE Processing=0
AND Processed=0
AND Paused=0
ORDER BY FailCount ASC, WebHookLogID DESC
UPDATE WebHookLog
SET Processing = 1
WHERE WebHookLogID IN(WebHookLogIDs)
SELECT * FROM WebHookLog
WHERE WebHookLogID IN(WebHookLogIDs)