このようなことをしてください
// まず、apk ファイルをダウンロードする必要があります。
    String extStorageDirectory =        Environment.getExternalStorageDirectory().toString();
        File folder = new File(extStorageDirectory, "APPS");
        folder.mkdir();
        File file = new File(folder, "AnyName."+"apk");
        try {
                file.createNewFile();
        } catch (IOException e1) {
                e1.printStackTrace();
        }
        /**
         * APKURL is your apk file url(server url)
         */
         DownloadFile("APKURL", file);
// DownloadFile 関数は
      public  void DownloadFile(String fileURL, File directory) {
       try {
            FileOutputStream f = new FileOutputStream(directory);
            URL u = new URL(fileURL);
            HttpURLConnection c = (HttpURLConnection) u.openConnection();
            c.setRequestMethod("GET");
            //c.setDoOutput(true);
            c.connect();
            InputStream in = c.getInputStream();
            byte[] buffer = new byte[1024];
            int len1 = 0;
            while ((len1 = in.read(buffer)) > 0) {
                    f.write(buffer, 0, len1);
            }
            f.close();
    } catch (Exception e) {
        System.out.println("exception in DownloadFile: --------"+e.toString());
            e.printStackTrace();
    }
そしてapkファイルをダウンロードした後、このコードを書いてください
       Intent intent = new Intent(Intent.ACTION_VIEW);
            intent.setDataAndType(Uri.fromFile(new   File(Environment.getExternalStorageDirectory() + "/APPS/" + "AnyName.apk")), "application/vnd.android.package-archive");
            startActivity(intent);
// マニフェストで許可を与える
     <uses-permission android:name="android.permission.INTERNET"/>
     <uses-permission android:name="android.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE"/>
それはあなたを助けるかもしれません、私はあなたの必要性と同じためにこれを使いました。