TeamCity のドキュメントに基づいて、http でビルドをトリガーできることがわかります。
http://confluence.jetbrains.com/display/TCD7/Accessing+Server+by+HTTP
例えば、
http://testuser:testpassword@teamcity.jetbrains.com/httpAuth/action.html?add2Queue=bt10
ただし、ビルドがキューに追加されたときに、特定の依存関係も再ビルドするように強制する必要があります。これは可能ですか?