WidgetsUserControl クラスの定義に「partial」キーワードがないことを訴えています。おそらく、そのクラスを部分的に定義している WidgetsUserControl に対応する XAML ファイルがあるため、ここでは、それも部分的に定義されていることを指定する必要があります。
public abstract partial class WidgetsUserControl : UserControl
この方向に進む場合は、childControl の定義も一貫させる必要があることに注意してください。つまり、コードでは次のようになります。
public partial class childControl : WidgetsUserControl
XAML では、childControl が単純な UserControl ではなく、WidgetsUserControl であることも指定する必要があります。
<project1:WidgetsUserControl>
</project1:WidgetsUserControl>
これは機能しますが、Visual Studio Designer が WidgetsUserControl のインスタンスを作成できない (抽象的であるため) と文句を言うという問題が発生します。これにより、childControl の視覚化と編集が少し難しくなります。これを解決するには、基本 WidgetsUserControl の「抽象」をなくすことをお勧めします。基本クラスを抽象化することが本当に必要な場合は、ここで他の提案を参照してください。
デザイナーの抽象クラス