いいえ、必要ありません。Cookie ヘッダー フィールドにドメイン属性がない場合、有効なドメインはリクエストのドメインです。
特定のシナリオでドメインを設定する必要がありますwww.website.com。Cookie を で利用できるようにapi.website.comする場合は、ドメインを に設定する必要があります.website.com。
また、www.website.comドメインを設定して別のドメインで Cookie を使用可能にする方法はありません (セキュリティ上の問題)。