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d0 + d1を最小化する特定の円（または曲線）上の1つまたは複数の点を見つける必要がありますか？曲線の半径と中心はそれぞれ（0,0）と'r'であり、点AとBの座標は既知です。A =（x1、y1）およびB =（x1、-y1）およびr> sqrt（x1 ^ 2 + y1 ^ 2）としましょう。Cは、長さd0 +d1d0を最小化する必要がある円の未知の点です-円上のAからCまでの距離d1-円上のBからCまでの距離

点Cは円に沿って移動します。d0 + d1を最小化する特定の円（または曲線）上の1つまたは複数の点を見つける必要がありますか？

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2 に答える 2

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線ABが円と交差する場合、Cはその交点です（2つの交点があり、両方が等しい距離を与えることに注意してくださいd0+d1！）。

線が円を横切る

ABが円と交差しない場合、Cは、円の中心に最も近い線AB上の点から仮想線と交差する円上の点です。

線が円と交差しない

別の点に最も近い線上の点を見つける方法、および2番目のケースを解決する2つの線の交点を見つける方法については、オンラインで多くの記事があります。最初のケースでは、「ラインサークル交差点」をグーグルで検索できます

于 2013-02-13T11:12:42.403 に答える
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一般的なケースは非常に複雑ですが、特別な状況

A=(x1,y1)そしてB=(x1,-y1)とr > sqrt(x1^2+y1^2)

中心が原点である円は、少なくともいくつかの状況でソリューションにアクセスできるようにするのに十分な対称性を持っています。私はA ≠ B、（同等にy1 ≠ 0）を仮定しています。そうでなければ、問題は円にとって些細なことです。

点とdist(P,Q)の間のユークリッド距離とします。を接続する（閉じた）線分であり、PQABP

dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B)

の場合D > dist(A,B)、点の軌跡は

f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D

E(D)は、焦点がAとである楕円ですB。P円との点にしましょうD = f(P)。

  • E(D)円と点の楕円の接線がP一致しない場合、は円に制限されたP極小値でも極大値でもありません。f
  • 接線が一致し、円の曲率がE(D)inの曲率よりも大きい場合P、は円に制限されたPの孤立した極大値です。f
  • 接線が一致し、円の曲率がE(D)inの曲率よりも小さい場合P、は円に制限されたPの孤立した極小値です。f
  • 接線が一致し、円の曲率がE(D)inの曲率に等しい場合P、
    • Pは、の場合、f円に制限された孤立した極小値です。dist(P,A) = dist(P,B)
    • Pそれ以外の場合、は極大値でも極小値でもありませんf。

まず、の場合x1 = 0、（幾何学的に明らかでない場合は）最小化する円上fの点がx座標を持つ点で0あることが簡単P1 = (0,r)にわかりP2 = (0,-r)ます。[もしそれは本当だろうr² ≤ x1² + y1²。]

x1 ≠ 0ここで、一般性を失うことなく、を仮定しますx1 > 0。P = (x,y)次に、最小化する円上の点がでfなければならないことは明らかですx > x1。状況の対称性により、点は円R = (r,0)に制限された極小値または極大値のいずれかでなければなりません。f

f近くの動作を計算すると、次の場合にのみ、それが極小値であるRことがわかります。R

r ≥ (x1² + y1²) / x1

Rはの最小曲率の点であるため（そして、へE(f(R))の接線と円は一致します）、はグローバル最小値でもあります。RE(f(R))R

の場合r < (x1² + y1²) / x1、は円Rに制限された極大値です。f次にf、同じx座標で、円上に2つのグローバル最小値があります。残念ながら、それらを計算するための優れた式がないため、反復検索よりも優れた方法を提供することはできません。

于 2013-02-14T00:15:44.847 に答える