私は、ウィキペディアの非効率的ですが明確な擬似コードに基づいて、アトキンのふるいの非常に素朴な実装を作成しました。私は最初にMATLABでアルゴリズムを作成しましたが、素数として5を省略しています。私もPythonでアルゴリズムを作成し、同じ結果が得られました。
技術的には、 5が除外されている理由を知っています。x==1およびy==1の場合、n == 5であるステップではn = 4*x^2 + y^2、これは1回だけ発生するため、5はプライムから非プライムに反転され、元に戻されることはありません。
私のアルゴリズムがウィキペディアのアルゴリズムと一致しないのはなぜですか？いくつかの表面的な調整を行いましたが（たとえば、各反復でx ^ 2を1回だけ計算する、最初の方程式で使用するときにmod（n、12）の値を保存するなど）、ロジックを変更しないでください。アルゴリズム。
アトキンのふるいに関連するいくつかの 議論 を読みましたが、どのような違いが私の実装で問題を引き起こしているのかわかりません。
Pythonコード：
def atkin1(limit):
res = [0] * (limit + 1)
res[2] = 1
res[3] = 1
res[5] = 1
limitSqrt = int(math.sqrt(limit))
for x in range(1, limitSqrt+1):
for y in range(1, limitSqrt+1):
x2 = x**2
y2 = y**2
n = 4*x2 + y2
if n == 5:
print('debug1')
nMod12 = n % 12
if n <= limit and (nMod12 == 1 or nMod12 == 5):
res[n] ^= 1
n = 3*x2 + y2
if n == 5:
print('debug2')
if n <= limit and (n % 12 == 7):
res[n] ^= 1
if x > y:
n = 3*x2 - y2
if n == 5:
print('debug3')
if n <= limit and (n % 12 == 11):
res[n] ^= 1
ndx = 5
while ndx <= limitSqrt:
m = 1
if res[ndx]:
ndx2 = ndx**2
ndx2Mult =m * ndx2
while ndx2Mult < limit:
res[ndx2Mult] = 0
m += 1
ndx2Mult = m * ndx2
ndx += 1
return res
MATLABコード
function p = atkin1(limit)
% 1. Create a results list, filled with 2, 3, and 5
res = [0, 1, 1, 0, 1];
% 2. Create a sieve list with an entry for each positive integer; all entries of
% this list should initially be marked nonprime (composite).
res = [res, zeros(1, limit-5)];
% 3. For each entry number n in the sieve list, with modulo-sixty remainder r:
limitSqrt = floor(sqrt(limit));
for x=1:limitSqrt
for y=1:limitSqrt
x2 = x^2; y2 = y^2;
% If r is 1, 13, 17, 29, 37, 41, 49, or 53, flip the entry for each
% possible solution to 4x^2 + y^2 = n.
n = 4*x2 + y2;
nMod12 = mod(n, 12);
if n <= limit && (nMod12 == 1 || nMod12 == 5)
res(1, n) = ~res(1, n);
end
% If r is 7, 19, 31, or 43, flip the entry for each possible solution
% to 3x^2 + y^2 = n.
n = 3*x2 + y2;
if n <= limit && mod(n, 12) == 7
res(1, n) = ~res(1, n);
end
% If r is 11, 23, 47, or 59, flip the entry for each possible solution
% to 3x^2 - y^2 = n when x > y.
if x > y
n = 3*x2 - y2;
if n <= limit && mod(n, 12) == 11
res(1, n) = ~res(1, n);
end
end
% If r is something else, ignore it completely.
end
end
% 4. Start with the lowest number in the sieve list.
ndx = 5;
while ndx < limitSqrt
m = 1;
if res(ndx)
% 5. Take the next number in the sieve list still marked prime.
% 6. Include the number in the results list.
% 7. Square the number and mark all multiples of that square as nonprime.
ndx2 = ndx^2;
ndx2Mult = m * ndx2;
while ndx2Mult < limit
res(ndx2Mult) = 0;
m = m + 1;
ndx2Mult = m * ndx2;
end
end
% 8. Repeat steps five through eight.
ndx = ndx + 1;
end
p = find(res); % Find the indexes of nonzerogo
end
ウィキペディアの擬似コード
// arbitrary search limit
limit ← 1000000
// initialize the sieve
is_prime(i) ← false, ∀ i ∈ [5, limit]
// put in candidate primes:
// integers which have an odd number of
// representations by certain quadratic forms
for (x, y) in [1, √limit] × [1, √limit]:
n ← 4x²+y²
if (n ≤ limit) and (n mod 12 = 1 or n mod 12 = 5):
is_prime(n) ← ¬is_prime(n)
n ← 3x²+y²
if (n ≤ limit) and (n mod 12 = 7):
is_prime(n) ← ¬is_prime(n)
n ← 3x²-y²
if (x > y) and (n ≤ limit) and (n mod 12 = 11):
is_prime(n) ← ¬is_prime(n)
// eliminate composites by sieving
for n in [5, √limit]:
if is_prime(n):
// n is prime, omit multiples of its square; this is
// sufficient because composites which managed to get
// on the list cannot be square-free
is_prime(k) ← false, k ∈ {n², 2n², 3n², ..., limit}
print 2, 3
for n in [5, limit]:
if is_prime(n): print n