この例は、実際には Facebook からコピーされたものです。
ページにアクセスすると、動作がおかしくなります。最初の「ログイン」は正常に機能しているようです。次に、「ログアウト」リンクが表示されます。しかし、それをクリックすると、まったく同じ画面が再び表示され、「ログアウト」リンクが再び表示されます。リフレッシュも同じ画面になります。
ただし、Facebook で確認すると、ログアウトされます。
ブラウザを閉じて再度開くと、「ログイン」が正しく表示されるようになりました。
<?php
require 'facebook.php';
$facebook = new Facebook(array(
  'appId' => 'xxxxxxxxxxxxxxx',
  'secret' => 'xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx',
));
$user = $facebook->getUser();
if ($user) {
  try {
    $user_profile = $facebook->api('/me');
  } catch (FacebookApiException $e) {
    error_log($e);
    $user = null;
  }
}
if ($user) {
  $params = array( 'next' => 'http://xxxxxxxxxx' );
  $logoutUrl = $facebook->getLogoutUrl($params);
} else {
  $params = array( 'redirect_uri' => 'http://xxxxxxxxxx' );
  $loginUrl = $facebook->getLoginUrl($params);
}
?>
<!doctype html>
<html>
  <head></head>
  <body>
    <?php if ($user): ?>
      <a href="<?php echo $logoutUrl; ?>">Logout</a>
    <?php else: ?>
      <a href="<?php echo $loginUrl; ?>">Login with Facebook</a>
    <?php endif ?>
    <?php if ($user): ?>
      Picture = <img src="https://graph.facebook.com/<?php echo $user; ?>/picture">
      User Object = <?php print_r($user_profile); ?>
    <?php else: ?>
      User is not Connected.
    <?php endif ?>
  </body>
</html>