ベジエ曲線 があるとしましょう。パラメーターを一定の割合でB(u)インクリメントuすると、曲線に沿って一定速度の移動がu得られません。これは、パラメーターと曲線を評価して得られたポイントとの関係が線形ではないためです。
David Eberly の記事を読んで実装しました。パラメトリック曲線に沿って一定速度で移動する方法を説明します。
F(t)時間の値を入力として受け取る関数と、 timeでの速度の値を返すt速度関数があるとします。一定の割合で t パラメータを変化させて、曲線に沿って一定速度の移動を取得できます。sigmatB(F(t))
私が使用している記事のコアは、次の関数です。
float umin, umax; // The curve parameter interval [umin,umax].
Point Y (float u); // The position Y(u), umin <= u <= umax.
Point DY (float u); // The derivative dY(u)/du, umin <= u <= umax.
float LengthDY (float u) { return Length(DY(u)); }
float ArcLength (float t) { return Integral(umin,u,LengthDY()); }
float L = ArcLength(umax); // The total length of the curve.
float tmin, tmax; // The user-specified time interval [tmin,tmax]
float Sigma (float t); // The user-specified speed at time t.
float GetU (float t) // tmin <= t <= tmax
{
float h = (t - tmin)/n; // step size, `n' is application-specified
float u = umin; // initial condition
t = tmin; // initial condition
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// The divisions here might be a problem if the divisors are
// nearly zero.
float k1 = h*Sigma(t)/LengthDY(u);
float k2 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k1/2);
float k3 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k2/2);
float k4 = h*Sigma(t + h)/LengthDY(u + k3);
t += h;
u += (k1 + 2*(k2 + k3) + k4)/6;
}
return u;
}
提供された時間とシグマ関数uを使用して計算された曲線パラメーターを取得できます。tこれで、速度シグマが一定の場合に関数が正常に機能します。シグマが一様な加速を表している場合、それから間違った値が得られます。
これは、直線ベジエ曲線の例です。ここで、P0 と P1 はコントロール ポイントで、T0 T1 は接線です。曲線の定義:
[x,y,z]= B(u) =(1–u)3P0 + 3(1–u)2uT0 + 3(1–u)u2T1 + u3P2
time での曲線に沿った位置を知りたいとしましょうt = 3。速度が一定の場合:
float sigma(float t)
{
return 1f;
}
および次のデータ:
V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;
位置を分析的に計算できます。
px = v0 * t = 1 * 3 = 3
ベジエ スプラインと上記のアルゴリズムを使用して同じ方程式を解くと、次のようになりますn =5。
px = 3.002595;
数値近似を考慮すると、値は非常に正確です (私はそれについて多くのテストを行いました。詳細は省略しますが、ベジエ曲線の実装は問題なく、曲線自体の長さはGaussian Quadratureを使用して非常に正確に計算されます)。
ここで、sigma を一様な加速関数として定義しようとすると、悪い結果が得られます。次のデータを検討してください。
V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;
線形運動方程式を使用して、粒子が P1 に到達する時間を計算できます。
L = 0.5 * (V0 + V1) * t1 =>
t1 = 2 * L / (V1 + V0) = 2 * 10 / 3 = 6.6666666
私は加速度をt計算することができます：
a = (V1 - V0) / (t1 - t0) = (2 - 1) / 6.6666666 = 0.15
シグマ関数を定義するためのすべてのデータがあります。
float sigma (float t)
{
float speed = V0 + a * t;
}
これを解析的に解決すると、時間後の粒子の速度は次のようになると予想されますt =3。
Vx = V0 + a * t = 1 + 0.15 * 3 = 1.45
位置は次のようになります。
px = 0.5 * (V0 + Vx) * t = 0.5 * (1 + 1.45) * 3 = 3.675
しかし、上記のアルゴリズムで計算すると、位置は次のようになります。
px = 4.358587
それは私が期待しているものとはかなり異なります。
長文失礼しました、どなたか読んでいただけると嬉しいです。
何か提案はありますか?何が欠けていますか?誰が私が間違っているのか教えてくれますか?
編集: 3D ベジエ曲線を試しています。次のように定義します。
public Vector3 Bezier(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float a_3 = a_2 *a;
float t_2 = t * t;
Vector3 point = (P0 * a_3) + (3f * a_2 * t * T0) + (3f * a * t_2 * T1) + t_2 * t * P1 ;
return point;
}
および導関数:
public Vector3 Derivative(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float t_2 = t * t;
float t6 = 6f*t;
Vector3 der = -3f * a_2 * P0 + 3f * a_2 * T0 - t6 * a * T0 - 3f* t_2 * T1 + t6 * a * T1 + 3f * t_2 * P1;
return der;
}