language-agnostic - サポートベクターマシン-超平面問題の分離

Question

私が見たところ、分離超平面は次の形式でなければならないようです

xw + b=0。

この表記はよくわかりません。私が理解していることから、x.wは内積であるため、結果はスカラーになります。スカラー+bで超平面を表現できるのはどうしてですか？私はこれとかなり混乱しています。

また、x + b = 0だったとしても、原点を真っ直ぐ通過する超平面ではないでしょうか。私が理解していることから、分離超平面は常に原点を通過するとは限りません！

Answer 1

これは、点と法線ベクトルを使用した（超）平面の方程式です。
平面を、P0からPに通過するベクトルが法線に垂直になるような点Pのセットと考えてください。

説明については、次のページを確認してください。

http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Definition_with_a_point_and_a_normal_vector

Answer 2

3D座標系の平面を想像してみてください。それを説明するには、その平面の法線ベクトルNと、平面から原点までの距離Dが必要です。簡単にするために、法線ベクトルの単位長を仮定します。その場合、その平面の方程式はxN --D=0です。

説明：xNは、法線ベクトルN上のxの射影として視覚化できます。結果は、Nに平行なベクトルxの長さです。この長さがDに等しい場合、点xは平面上にあります。

Answer 3

内積（内積）の定義は次のとおりです。

x。y = | x | * | y | * cos（a）

ここで、aはxとyの間の最小角度です。

そのxは簡単にわかります。y = 0、a = 90度（円周率）の場合。

これは、固定法線ベクトルwがある場合、次の式で与えられる超平面を意味します。

x。w = 0

は、 xがwに直交している必要がある場合に、 xが「指す」ことができるすべての点のセットです。

今、によって与えられる超平面：

x。w + b = 0

は、 xが「指す」ことができるすべての点のセットです。wは定数です。xが長くなると、| x | 同じ一定の結果を生成するには、角度aが増加すると、角度aが90度（pi rad）に近づく必要があり、cos（a）が減少します。ただし、xをwの正反対の方向に向けると、cos（a）=-1および| x | = b（wが単位長である場合）。

この点のセットで与えられた平面はxに平行であることがわかります。w = 0であり、 wが単位長であるとすると、距離-b（wの方向）が空間内でシフトします。

この答えはおそらく作戦に役立つことはないでしょうが、うまくいけば他の誰かがそれから利益を得るでしょう。