以下はコードです。問題は #smsregid.val が Firefox では変更されていますが、Chrome では変更されていません。
function subSmsForm() {
$.post('?action=smsregistration-save', $('#smsform').serialize(),
function(data) {
$('#mess').html(data.message);
$('#mess').show();
$('#signup').hide();
$('#verify').show();
$('#verify').load('?action=verification');
alert(data.smsregid);
$('#smsregid').val(data.smsregid);
}, "json");
}