algorithm - 独立確率変数の期待値 - アルゴリズム

Question

n 個の独立確率変数 X1、X2..Xn があります。各確率変数は、0 または 1 のいずれかの値を取ることができます。変数 Xi が 1 の値を持つ確率は 1/n です。X1..Xn の合計の 2 乗の期待値は?

Answer 1

これは宿題かもしれないので、いくつかのヒントを示します。

E((\sum_i X_i) ^2) が必要です。次のことを示します。

E((\sum_i X_i)^2) = E(\sum_i X_i^2 + 2\sum_{1<= i < j <= n} X_i * X_j)
                  = n * E(X_i^2) + 2 * choose(n, 2) * E(X_i * X_j)

必要なのは次のとおりです。

E(X_i^2), E(X_i * X_j)

iid であるため、任意の i と j について