バックグラウンド
この図は問題を示しています。
赤い丸をコントロールできます。ターゲットは青い三角形です。黒い矢印は、ターゲットが移動する方向を示します。
最小ステップ数ですべてのターゲットを収集したい。
ターンごとに、左/右/上または下に 1 歩移動する必要があります。
ターンごとに、ボードに示されている方向に従って、ターゲットも 1 ステップ移動します。
デモ
この問題の再生可能なデモをGoogle appengine に掲載しました。
私の現在のアルゴリズムが最適ではないことを示すため、誰かが目標スコアを上回ることができれば非常に興味があります. （これを管理すると、お祝いのメッセージが出力されるはずです！）
問題
私の現在のアルゴリズムは、ターゲットの数に対して非常にうまくスケーリングしません。時間は指数関数的に増加し、16 匹の魚ではすでに数秒です。
ボードのサイズが 32*32 で、移動するターゲットが 100 個ある場合の答えを計算したいと思います。
質問
すべてのターゲットを収集するための最小ステップ数を計算するための効率的なアルゴリズム (理想的には Javascript) は何ですか?
私が試したこと
私の現在のアプローチはメモ化に基づいていますが、非常に遅く、常に最適なソリューションが生成されるかどうかはわかりません。
「与えられた一連のターゲットを収集し、特定のターゲットに到達するための最小ステップ数は?」というサブ問題を解決します。
部分問題は、以前に訪問したターゲットの各選択肢を調べることによって、再帰的に解決されます。以前のターゲットのサブセットをできるだけ早く収集し、最終的に到達した位置から現在のターゲットにできるだけ早く移動することが常に最適であると思います (ただし、これが有効な仮定であるかどうかはわかりません)。
これにより、n*2^n の状態が計算され、非常に急速に増大します。
現在のコードを以下に示します。
var DX=[1,0,-1,0];
var DY=[0,1,0,-1];
// Return the location of the given fish at time t
function getPt(fish,t) {
var i;
var x=pts[fish][0];
var y=pts[fish][1];
for(i=0;i<t;i++) {
var b=board[x][y];
x+=DX[b];
y+=DY[b];
}
return [x,y];
}
// Return the number of steps to track down the given fish
// Work by iterating and selecting first time when Manhattan distance matches time
function fastest_route(peng,dest) {
var myx=peng[0];
var myy=peng[1];
var x=dest[0];
var y=dest[1];
var t=0;
while ((Math.abs(x-myx)+Math.abs(y-myy))!=t) {
var b=board[x][y];
x+=DX[b];
y+=DY[b];
t+=1;
}
return t;
}
// Try to compute the shortest path to reach each fish and a certain subset of the others
// key is current fish followed by N bits of bitmask
// value is shortest time
function computeTarget(start_x,start_y) {
cache={};
// Compute the shortest steps to have visited all fish in bitmask
// and with the last visit being to the fish with index equal to last
function go(bitmask,last) {
var i;
var best=100000000;
var key=(last<<num_fish)+bitmask;
if (key in cache) {
return cache[key];
}
// Consider all previous positions
bitmask -= 1<<last;
if (bitmask==0) {
best = fastest_route([start_x,start_y],pts[last]);
} else {
for(i=0;i<pts.length;i++) {
var bit = 1<<i;
if (bitmask&bit) {
var s = go(bitmask,i); // least cost if our previous fish was i
s+=fastest_route(getPt(i,s),getPt(last,s));
if (s<best) best=s;
}
}
}
cache[key]=best;
return best;
}
var t = 100000000;
for(var i=0;i<pts.length;i++) {
t = Math.min(t,go((1<<pts.length)-1,i));
}
return t;
}
検討したこと
私が疑問に思ったいくつかのオプションは次のとおりです。
中間結果のキャッシュ。距離の計算では多くのシミュレーションが繰り返され、中間結果がキャッシュされる可能性があります。
ただし、これで指数関数的な複雑さがなくなるとは思いません。A* 検索アルゴリズムですが、適切な許容可能なヒューリスティックとは何か、これが実際にどの程度効果的かはわかりません。
巡回セールスマン問題の優れたアルゴリズムを調査し、それらがこの問題に適用されるかどうかを確認します。
問題が NP 困難であることを証明しようとするため、最適な解を求めるのは不合理です。