以下は、decrement という名前のボタンを追加して実装しようとしたときに発生するエラーです。
No route matches {:controller=>"line_items", :product_id=>#<Product id: 2, title: "Harry Potter", description: "Its drama cum adventure cum suspense cum thriller, ...", image_url: "harry-potter_25.png", price: #<BigDecimal:b068140,'0.1E3',4(8)>, created_at: "2013-03-15 07:21:26", updated_at: "2013-03-18 11:57:13">, :action=>"decrement"}
button_toの実装コードをエラーと一緒に貼り付けた場合に役立ちます。
また、button_toでproduct_idに対して製品オブジェクト全体を渡しているようです。
#<Product id: 2, title: "Harry Potter", description: "Its drama cum adventure cum suspense cum thriller, ...", image_url: "harry-potter_25.png", price: #<BigDecimal:b068140,'0.1E3',4(8)>
代わりにproduct.idのみを試してください
ボタンのパスで:product_id => product置き換えます:product_id => product.id
<%= button_to 'Remove from cart', decrement_line_items_path(:product_id => product.id), :method => :put, :remote => true %>