probability-theory - 数学の証明が必要 (確率)

Question

Pr[E] = Pr[E|A].Pr[A] + Pr[E|A'].Pr[A'] より

Pr[E] <= Pr[E|A] + Pr[A'] をどのように証明できますか?

Answer 1

Pr[E] <= Pr[E|A] + Pr[A']

左側は最初の行に置き換えることができます..

Pr[E|A].Pr[A] + Pr[E|A'].Pr[A'] <= Pr[E|A] + Pr[A']

うーん、両側で「Pr[E|A].Pr[A]」を減算しましょう。右側では、Pr[E|A] = Pr[E|A]*1 = Pr[E|A] (Pr[A] + Pr[A']) を変換できます。

Pr[E|A'].Pr[A'] <= Pr[E|A].Pr[A'] + Pr[A']

これで、Pr[A'] を分離するために、両側を括弧に入れることができます。

( Pr[E|A'] ) * Pr[A'] <= ( Pr[E|A] + 1 ) * Pr[A']

Pr[A']で割る

Pr[E|A'] <= Pr[E|A] + 1

そう.. if.. Pr[E|A] = 0 の場合、両辺は等しくなります (左辺が 1 の場合) 他のすべての場合では、右辺は 1 より大きいため、大きくなり、左辺は最大1

Answer 2

Pr[E] <= Pr[E|A] は、Pr[E] が Pr[E|A] のサブセットである場合に満たされます。これは、Pr[E|A] = Pr[E] + Pr[A] - Pr[E&A] で証明されます。

したがって、任意の確率 E および A が与えられた場合、Pr[E] は Pr[E|A] のサブセットのままです。