Xcode で PhoneGap を使用しています。問題は、ユーザーがログアウトボタンをクリックしたときにアプリケーションを終了したいということです。これはどのように達成できますか?

Objective-C コードを使用してアプリケーションを終了できるというアラートネイティブはありますか?

アプリを App Store に提出する予定がある場合、技術的にはアプリケーションを終了することは想定されていません。こちらをご覧ください: https://developer.apple.com/library/ios/#qa/qa2008/qa1561.html
おそらく、代わりに何らかのログイン/ランディング ページにユーザーを戻す必要があります。
openを使用して起動する必要はありませんNSTask... Launch Servicesopenを呼び出すだけで、その機能の一部はNSWorkspaceから直接利用できます。
終了するには、 を呼び出すだけ[[NSApplication sharedApplication] terminate:nil]です。NSApplicationドキュメントを参照してください。