本で説明されているように反例がどのように機能するかは理解していますが、理解していないのは、ステートメントが実際に誤りであるという結論にどのように到達するかです。
（おそらく有効な）反例があることを考えると、ステートメントは偽でなければなりません。証明を反例に適用しようとすると、エラーを明らかにするのに役立ちます。
2 つの推移的な関係の和集合自体が推移的であるということが決してないというわけではありません。実際、それ自体との推移的な関係の和集合や and の和集合などの明白な例がありますless-than(これは、合理的な定義less-than-or-equal-toでは に等しい)。しかし、元のステートメントは、これが任意の 2 つの推移的な関係less-than-or-equal-toの場合であると主張しています。1 つの反例がそれを反証します。この声明の (有効な) 証明を提供できれば、パラドックスを発見したことになります。これにより、通常、数学者はシステムの公理を再評価してパラドックスを取り除きます。この場合、パラドックスはありません。
をandTの結合としますR(S簡単にするために、ドメインが範囲に等しく、両方のセットが同じであると仮定します)。あなたが証明しようとしているのは、と の場合xTy、yTzの場合に違いないということxTzです。証明の概要の一部として、次のように述べています。
(x,y) が R にあり、(y,z) が R にある場合、R は推移的であるため、(x, z) は R にある
これは単なる推移性の定義であるため、明らかに真実です。ご指摘のとおり、2 つの推移関係の交差の推移性を証明するために使用できます。ただし、Tはunionであるため、それを想定する理由はありませんxRy。それxSyだけかもしれません。xRy前件 (それと)を証明できないので、後件 (yRzそれxRz) は関係ありません。同様に、それを示すことはできませんxSz。xRzまたはを示すことができない場合xSz、それを信じる理由はありませんxTz。
これは、ステートメントに反例を与えるような状況を意味します: 推移ペアの一方の半分が からのみ来Rて、もう一方が からのみ来る場合S。単純で不自然な例として、 set に対する関係を定義します{1,2,3}。
R={(1,2)}
S={(2,3)}
明らかに、R と S はどちらも推移的です (x, y, zそのようなものxRy and yRzやがないためxSy and ySz)。一方で、
T={(1,2),(2,3)}
は推移的ではありません。1T2(since 1R2) と2T3(since ) の間2S3は、そうではありません1T3。あなたの教科書はおそらくより自然な反例を示していますが、これにより、アサーションが失敗する原因をよく理解できると思います。