recursion - 行列式再帰アルゴリズムの複雑度計算

Question

n x nラプラス展開に基づいて、行列式を計算するアルゴリズムを作成しました。

以下の繰り返し関係を取得しました。 T(n) = n(n² + T(n-1))

ウィキペディアで、これにより結果が得られるはずだと読みましたT(n) = O(n!)が、それを証明する方法がわかりません(直感的ですが)。

Answer 1

式は正しいですが、再帰関係は正しくありません。n²サブマトリックスを保存または生成する必要がないため、 は必要ありません。

Mij(n-1) x (n-1)サブ行列の行列式です。nしたがって、さまざまな行列の行列式を計算する必要がありますn。したがって、正しい再帰関係はT(n) = n⋅T(n-1) + 2n-1です。これは次のように単純化されます

T(n) = n ⋅ T(n-1) + 2n-1
     = n ⋅ (n-1) ⋅ T(n-2) + n ⋅ (n-1)
     = n ⋅ ( (n-1) ⋅ ( (n-2) ⋅ (...) + n-3 ) + n-2 ) + n-1
     = 2n-1 + n ⋅ (2(n-1)-1) + n ⋅ (n-1) ⋅ (2(n-2)-1) + ... + n!
     < 2 ⋅ n + 2 ⋅ n ⋅ (n-1) + 2 ⋅ n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) + ... + 2 ⋅ n! + n!
     = 2 ⋅ (n + n ⋅ (n-1) + ... + n!/2) + 3 ⋅ n!
     < 2 ⋅ (n!/(n-1)! + n!/(n-2)! + ... + n!/2!) + 3 ⋅ n!

2⋅n!/k! ≤ n!/(k-1)!for allによりk ≥ 2、

  n!/(n-1)! + n!/(n-2)! + n!/(n-3)! + ... + n!/2!
≤ n!/(n-2)! + n!/(n-2)! + n!/(n-3)! + ... + n!/2!
≤ n!/(n-3)! + n!/(n-3)! + ... + n!/2!
≤ n!/(n-4)! + ... + n!/2!
≤ ...
≤ n!/2! + n!/2!
≤ n!

など

T(n) = n ⋅ T(n-1) + 2n-1
     < 2 ⋅ (n!/(n-1)! + n!/(n-2)! + ... + n!/2!) + 3 ⋅ n!
     ≤ 2 ⋅ n! + 3 ⋅ n!
     = 5 ⋅ n!
     = O(n!)

だからあなたのアルゴリズムはO(n!)