private javax.swing.JList List_Chat; //name
List_Chat.add("me:" + Text_Chat.getText());
List_Chat.add(Server_Reader.readLine());
エラーが発生し続け、何をすべきかわかりません。
JList のコンテンツを動的に変更する場合は、ListModelを使用します。
DefaultListModel listModel = new DefaultListModel();
JList list = new JList(listModel);
listModel.addElement("item");
listModel.addElement("another item");