cookies - PHPSESSID Cookie over WebClient が機能しない

Question

既にある PHPSESSID を Cookie として使用しようとしています。私は Firefox から取得したので、ID は 100% 正しいですが、結果は要求されたサイトではなく、毎回ログイン用のサイトになります。

String site = "";
WebClient client = new WebClient();
          client.Headers.Add(HttpRequestHeader.Cookie, "PHPSESSID=fa90a8305a378254aefc371f875a86b2");
        result = client.DownloadString(site);

私は何を間違えていますか？